binomischer Satz (Formel)
$$ (x+y)^n =\sum_{i=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}{x^{n-k}y^{k}} $$
Hier also
$$ (1+x)^{n+m} =\sum_{k=0}^{n+m}\begin{pmatrix} n+m\\k \end{pmatrix}{x^{k}} $$
und
$$ (1+x)^{n} =\sum_{i=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}{x^{i}} $$
und
$$ (1+x)^{m} =\sum_{j=0}^{m}\begin{pmatrix} m\\j \end{pmatrix}{x^{j}} $$
Dann wird aus der gegebenen Gleichung
$$ (1+x)^{n+m} =\sum_{k=0}^{n+m}\begin{pmatrix} n+m\\k \end{pmatrix}{x^{k}} = \sum_{i=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}{x^{i}} *\sum_{j=0}^{m}\begin{pmatrix} m\\j \end{pmatrix}{x^{j}}$$
und da die Summanden der ersten Summe nicht von j abhängen, kann man sie in die 2. Summe ziehen:
$$ = \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}{x^{i}} *\begin{pmatrix} m\\j \end{pmatrix}{x^{j}}$$
$$ = \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m\\j \end{pmatrix}{x^{i+j}}$$
Und jetzt wird das alles nach den Potenzen von x geordnet. Dann hat man
$$ = \sum_{k=0}^{n+m}\sum_{i=0}^{k}\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m\\k-i \end{pmatrix}{x^{k}}$$
$$ = \sum_{k=0}^{n+m} (\sum_{i=0}^{k}\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m\\k-i \end{pmatrix}){x^{k}}$$
und wenn du jetztnoch aus dem i ein kleines L machst, passt es genau.
