Kongruenz - Beweise: Aus a ≡ b mod m folgt a^2 ≡ b^2 mod m

Question

leider komme ich hiermit gar nicht klar:

I) Wenn a ≡ b mod m gilt, dann folgt a^2 ≡ b^2 mod m
II) Widerlegen Sie die umgekehrte Richtung. Zeigen Sie, dass aus  a^2 ≡ b^2 nicht a ≡ b mod m folgt.

Für II) müsste es reichen, ein Gegenbeispiel zu finden? Aber wie geht I) ?

Comments

Vielleicht so: \(a\equiv b\bmod m\) heißt \(a-b=k\cdot m\) mit passendem \(k\in\mathbb Z\). Multiplikation mit \(a+b\) liefert \((a+b)\cdot k\cdot m=(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2\), d.h. \(a^2\equiv b^2\bmod m\).

Answer 1

Hi!

I)
a ≡ b mod m ⇔ m | (a-b) ⇔ m | (a-b)·(a+b) ⇔ m | (a^2-b^2) ⇔ a^2 ≡ b^2 mod m

Answer 2

Zu a) a ≡ b mod m bedeutet: Es gibt natürliche Zahlen  k,l, sodass km+a=lm+b. Quadrieren auf beiden Seiten ergibt

k²m²+2kma+a²= l²m²+2lmb+b². Nach Subtraktion von durch m teilbaren Zahlen, bleiben Reste beim Teilen durch m übrig: a² ≡ b² mod m

Zu b) hier genügt ein Gegenbeispiel 16 ≡ 25 mod 3 aber nicht  4 ≡ 5 mod 3.

Comments

Zu a) a ≡ b mod m bedeutet: Es gibt natürliche Zahlen  k,l, sodass km+a=lm+b. Quadrieren auf beiden Seiten ergibt k2m2+2kma+a2= l2m2+2lmb+b2. Nach Subtraktion von durch m teilbaren Zahlen, bleiben Reste beim Teilen durch m übrig: a2 ≡ b2 mod m

Man darf einfach so durch m teilbaren Zahlen subrahieren? Ich denke nicht. Ich kann
hier beim besten Willen keinen Beweis erkennen.

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Zwei Zahlen bleiben restgleich beim Teilen durch m, wenn man beide um die gleiche Zahl vermindert. Kongruenzen darf man fast genauso behandeln, wie Gleichungen. Nur z.B. dividieren durch die gleiche Zahl auf beiden Seiten dart man nicht (Wurzelziehen auch nicht):