Aufgabe (Ambiente Isotopie in der Scheibe):
Seien \( \{*\} \) der Einpunktraum und \( \iota_{0}, \iota_{1} : \{*\} \rightarrow \mathbb{D}^{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}\|x\|_{2} \leq 1\right\} \) Abbildungen mit \( \iota_{0}(*)=0, \iota_{1}(*) \in \dot{\mathrm{D}}^{2}=\left\{x \in \mathbb{D}^{2}\|x\|_{2}<\right. 1 \}. \)
In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass \( \iota_{0}, t_{1} \) ambient isotop sind via einer Isotopie \( H: \mathbb{D}^{2} \times I \longrightarrow \mathbb{D}^{2} \) des Raumes \( \mathbb{D}^{2}, \) die den Rand festhält. Das heißt, für \( x \in \mathbb{S}^{1}, t \in[0,1] \) gilt \( H_{t}(x)=x \)
a) Fertigen Sie eine Skizze an und entwickeln Sie eine geometrische Beschreibung, wie solch eine oben beschriebene Isotopie \( H \) des Raumes \( \mathbb{D}^{2} \) aussehen könnte.
b) Argumentieren Sie jetzt formal, indem Sie eine Abbildung \( H: \mathbb{D}^{2} \times I \longrightarrow \mathbb{D}^{2} \) angeben und die oben genannten Eigenschaften nachweisen.
