Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f : ]−∞,−2] →R, f(x) = Wurzel x(quadrat)−4 durch x(quadrat)+7.

Question

Blatt03.pdf (0,1 MB)

Bräuchte Hilfe bei der Bonusaufgabe

Answer 1

Funktion
D = ] -∞ .. - 2 ]
W = [ 0 .. 1 ]

Umkehrfunktion

D = [ 0 .. 1 ]
W = ] -∞ .. - 2 ]

u  ( x ) = √ [ (-7x^2 - 4 ) / ( x^2 -1 ) ]
Der Wurzelwert ist stets positiv.
Da der Wertebereich im Negativen liegt
gilt
u ( x ) = - √ [ (-7x^2 - 4 ) / ( x^2 -1 ) ]

Comments

>   Funktion            D = ] -∞ .. - 2 ]    ;   W = [ 0 .. 1 ]

Umkehrfunktion      D = [ 0 .. 1 ]  :   W = ] -∞ .. - 2 ]

D_u  =  W_f  =  [ 0 .. 1 [

>  u  ( x ) = √ [ (-7x² - 4 ) / ( x² -1 ) ] 

> Da der Wertebereich im Negativen liegt gilt   u ( x ) = - √ [ (-7x² - 4 ) / ( x² -1 ) ] 

Dann macht die erste Gleichung ja wohl keinen Sinn:

Answer 2

Comments

@Grosserloewe

Das sind in der letzten Zeile 2 Funktionsgleichungen. Nur eine davon kann wohl die der Umkehrfunktion sein.

Außerdem gehört zur vollständigen Angabe einer Funktion auch deren Definitionsmenge.

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Die Rechnung habe ich auch das Vorzeichen mit - vor der Wurzel ist richtig, da der Defintionsbereich und Wertebereich nur grafisch damit zu erklären wäre und + ist somit falsch

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> das Vorzeichen mit - vor der Wurzel ist richtig

Das hast du richtig erkannt.

Eigentlich müsste man sich auch Gedanken darüber machen, wieso man bei

x² = (-4 - 7·y²) / (y² - 1)    rechts überhaupt die Wurzel ziehen darf.

Answer 3

Ich setze y=f(x) und quadriere auf beiden Seiten: y²=(x²-4)/(x²+7)=1-11/(x²+7). Dann gilt 1-y²=11/(x²+7) und dann

x²+7=11/(1-y²) und schließlich x=√[11/(1-y²)-7]. Setze jetzt x=f^-1(x) und y=x

Comments

@Roland

> und schließlich x=√[11/(1-y²)-7].

Da solltest du dir Gedanken um das Vorzeichen von x und eigentlich auch um das Vorzeichen des Radikanden machen.

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Kann die Rechnung nicht nachvollziehen, woher kommt beim zweiten Schritt, die 1-11?

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woher kommt beim zweiten Schritt, die 1-11? Da steht nicht  1 - 11 sondern 1-11/(x²+7). das ist das Ergebnis der Polynomdivision.