Wie beweist man, dass der Rang eine Ähnlichkeitsvariante ist? (+ ANSATZ)

Question

meine Frage ist: Wie beweist man, dass der Rang eine Ähnlichkeitsvariante ist?

 - Kurz zur Ähnlichkeitsvariante:

    Eine Matrix A ist ähnlich zu einer  Matrix B, wenn folgendes gilt:

                                              A = S^-1  * B * S   

 - ANSATZ:

   Nun, meine Idee: Da folgende Aussagen über den Rang gelten, könnte man damit arbeiten: (ob der Ansatz stimmt ?)

    1. dim Bild(f) = rang A  

    2. dim Ker(f) = n − rang A

Answer 1

Du meinst wahrscheinlich Ähnlichkeitsinvariante, das bedeutet

ähnliche Matrizen haben den gleichen Rang.

Also versuche aus

  Es gibt eine reguläre Matrix S mit    A = S^-1  * B * S

herzuleiten, dass rang(A) = rang(B).   

Tipp:

Recherchiere mal, ob du was über rang(A*B) findest und mach aus deiner

Gleichung       A = S^-1  * B * S besser     S*A =  B * S.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Ja, ich meine die Ähnlichkeitsinvariante, danke für den Hinweis!!! :)

Stimmt dieser Ansatz also [?]

Behauptung:  Der Rang ist eine Ähnlichkeitsinvariante [ rang(A) = rang(B) ]

Beweis:  Es gilt im Allgemeinen Rang(AB)=Rang(BA), also:

A = S^-1  * B * S <=> S*A =  B * S und da gilt " Rang(AB)=Rang(BA) " 

folgt nun für den Beweis der Behauptung:

det(A) =  det(S^-1  * B * S) 

           =  det(S^-1 * S * B)

           = det(B)

  q.e.d

---

Schreibfehler, ich meinte:

rang(A) =  rang(S^-1  * B * S) 

           =  rang(S^-1 * S * B)

           = rang(B)