Sportschuherzeugung - Quadratische Funktion

Question

wie berechne ich bei folgender Aufgabe die Punkte a und b für die Funktionsgleichung?

Eine Firma erzeugt Sportschuhe. Die Produktion von 100 Paar kostet 1800€, bei 200 Paar belaufen sich die Produktionskosten auf 3000€. Die Fixkosten betragen 1200€. Es wird angenommen, dass die Kosten für die Produktion von x Paar durch eine quadratische Funktion K(x) angenähert werden können.

a) Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfunktion

b) Wie viel Paar können erzeugt werden, wenn die Produktionskosten maximal 9000€ betragen dürfen?

c) In welchem Bereich muss die Produktionsmenge liegen, wenn die Kosten pro Paar höchstens 20,40€ betragen sollen?

Answer 1

a) Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfunktion

K(x) = a·x^2 + b·x + c

K(0) = 1200 --> c = 1200

K(100) = 1800 --> 10000·a + 100·b + c = 1800

K(200) = 3000 --> 40000·a + 200·b + c = 3000

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 0.03 ∧ b = 3 ∧ c = 1200

K(x) = 0.03·x^2 + 3·x + 1200

b) Wie viel Paar können erzeugt werden, wenn die Produktionskosten maximal 9000€ betragen dürfen?

K(x) = 9000

0.03·x^2 + 3·x + 1200 = 9000 --> x = 462.3475382 --> Es können max. 462 Paar erzeugt werden.

c) In welchem Bereich muss die Produktionsmenge liegen, wenn die Kosten pro Paar höchstens 20.40€ betragen sollen?

k(x) ≤ 20.4

0.03·x + 3 + 1200/x ≤ 20.4 --> 80 ≤ x ≤ 500

Comments

Ich habe allerdings in der Wartezeit vorhin a mithilfe der Scheitelpunkte (0 / 1200) zu errechnen versucht. Leider bin ich zuerst auf das falsche Ergebnis gekommen, nämlich 0,06.

Als Ausgangspunkt für y habe ich 1800 und für x 100 genommen. Da ja beide Punkte laut Angabe auf der Funktion liegen. Sprich:

1800=a*(100-0)²+1200

a=0,06

Schlussendlich habe ich die Gleichung:

900 = a*(100-0)²+1200

gelöst und bin auf a=0,03 gekommen.

Aber warum muss ich denn von den 1800 die Hälfte (also 900) nehmen um auf das richtige Ergebnis zu kommen? Das ist mir nicht ganz klar.

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Wer sagt dir denn das der Scheitelpunkt bei (0 | 1200) liegt ? Das ist der Y-Achsenabschnitt aber nicht der Scheitelpunkt.
Der Scheitelpunkt ist nicht bekannt.
Der Scheitelpunkt liegt bei (- 50 | 1125).

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Huch, ja dann war das ja ein riesen Irrtum.

Dann muss ich allerdings fragen wie du auf die einzelnen Punkte des Gleichungssystems gekommen bist? zB auf 10000*a

Ist das der einzige Weg, wie ich auf a und b kommen kann? Denn eigentlich war der Auftrag unserer Lehrperson, diese Aufgabe mithilfe der Formeln für Quadratische Funktionen (Scheitelformel etc zu lösen) :-)

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K(100) bedeutet nimm K(x) und setze dann für x = 100 ein.

K(100) = 1800

a·100^2 + b·100 + c = 1800

10000·a + 100·b + c = 1800

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Hallo nochmal,

also mit Punkt c habe ich nun doch noch Probleme...

Wie muss ich denn hier genau vorgehen?

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0.03·x + 3 + 1200/x ≤ 20.4

0.03·x^2 + 3·x + 1200 ≤ 20.4·x

0.03·x^2 - 17.4·x + 1200 ≤ 0

x^2 - 580·x + 40000 ≤ 0

Nullstellen sollte kein Problem sein oder?

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Ja, jetzt ist alles klar. Danke nochmals!

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Wie wurde b) berchnet ?

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Ansatz war:

K(x) = 9000

0.03·x^2 + 3·x + 1200 = 9000

Dieses ist eine quadratische Gleichung. Die kannst du dir mit einer App wie Photomath schrittweise vorrechnen lassen.

Probier es mal aus und wenn du Fragen hast melde dich wieder.

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Sehr gute App. Hätte nicht gedacht, dass man die Nullstellen ausrechnen sollte.