Quadratische Gleichung mit PQ-Formel lösen

Question

Aufgabe:

Berechne c so, dass die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat.

cx² + 8x + c = 0

Problem/Ansatz:

Die Gleichung soll mit der PQ-Formel gelöst werden. Wie soll das funktionieren?

Answer 1

Aloha :)

$$cx^2+8x+c=0\quad\big|\div c$$$$x^2+\frac8c\,x+1=0\quad\big|\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=-\frac4c\pm\sqrt{\left(-\frac4c\right)^2-1}=-\frac4c\pm\sqrt{\frac{4^2}{c^2}-\frac{c^2}{c^2}}=-\frac4c\pm\sqrt{\frac{4^2-c^2}{c^2}}$$

Es gibt genau eine Lösung, wenn die Wurzel \(0\) ergibt. Die Wurzel wird Null, wenn der Bruch Null wird. Der Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird. Damit der Zähler Null wird, muss gelten:$$4^2-c^2=0\implies c^2=16\implies c=\pm4$$

Comments

Vielen Dank!!!

Answer 2

Du teilst die Gleichung erst mal durch c (mit c≠0), dann kannst du die pq-Formel anwenden.

Comments

Vielen Dank. Das habe ich auch gemacht und in die PQ-Formel eingesetzt, aber dann an dem Bruch 8:c:4 gescheitert.

Answer 3

Lösung, wenn es keine Vorgaben gibt:

\(cx^2 + 8x + c = 0   | : c\)

\(x^2 + \frac{8}{c} x  = -1\)   quadratische Ergänzung: \(+( \frac{4}{c})^2\)

\(x^2 + \frac{8}{c} x +( \frac{4}{c})^2 = -1+( \frac{4}{c})^2\)      1. Binom

\((x + \frac{4}{c})^2 = ( \frac{4}{c})^2-1|  \sqrt{~~}\)

\(x + \frac{4}{c} =  \sqrt{\frac{16}{c^2}-1}\)

genau eine Lösung:

\( \sqrt{\frac{16}{c^2}-1}=0\)

Comments

Lösung, wenn es keine Vorgaben gibt:
\(cx^2 + 8x + c = 0  | : c\)

Doch, für dieses Vorgehen muss es eine Vorgabe geben. c darf nicht 0 sein.

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Doch, für dieses Vorgehen muss es eine Vorgabe geben. c darf nicht 0 sein.

Wieso sollte das hier relevant sein?

Damit läge keine quadr. Gleichung mehr vor, von der ausdrücklich die Rede ist.

Die Gleichung soll mit der PQ-Formel gelöst werden. Wie soll das funktionieren

c= 0

-> 0*x^2+8*x+0 = 0 -> 8x=0

8x= 0 hat mit einer quadr. Gleichung nicht das Geringste zu tun.

Wer wäre so verrückt, das mit der pq-Formel zu lösen und ein absurdes, falsches Ergebnis zu erhalten?

-4±√(16-0)

x1= 0

x2= -8

Der Kontext ist eindeutig und bedarf keiner weiteren Differenzierungen.

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Die Vorgabe war: "Die Gleichung soll mit der PQ-Formel gelöst werden."

Darum habe ich "Lösung, wenn es keine Vorgaben gibt" geschrieben.

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Darum habe ich "Lösung, wenn es keine Vorgaben gibt" geschrieben.

Du kennst ihn doch. Den geht es um etwas anderes. Sei froh, dass er dich nicht heftiger angegangen ist. Du wurdest auch schon lächerlich gemacht und vorgeführt.

Hier ist offentlich, dass c nicht Null sein kann.

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Die Aufgabe ist dahingehend ungenau gestellt. Es müsste korrekt schon heißen: Berechne \(c\neq 0\) so, dass..." da spielt es keine Rolle ob die "quadratische Gleichung" bereits impliziert, dass \(c\) nicht 0 sein kann. Wer vernünftige Mathematik betreibt, beachtet das auch. Insofern ist es also korrekt zu sagen, dass \(c\neq 0\) gefordert werden muss bzw. die Rechnung eben nur dann funktioniert.

Wer keine vernünftige Mathematik betreibt, sieht über sowas hinweg, schmiert irgendeinen Rotz dahin und zickt dann auch noch herum, wenn man darauf hingewiesen wird, was in diesem Fall legitim ist, anstatt es einfach zur Kenntnis zu nehmen. Dort, wo solche Kleinigkeiten dann nämlich wirklich relevant sind, wird es dann vergessen. Warum soll man also nicht vermitteln, dass man grundsätzlich auf sowas zu achten hat?

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Noch ein Weg (ohne p,q Formel ):

Da es nur eine Lösung geben soll, liegt das Extremum auf der x-Achse:

\(f(x)=cx^2 + 8x + c \)

\(f'(x)=2cx + 8 \)

\(2cx + 8=0 \)

\(x=-\frac{4}{c} \)    mit \(c≠0\)

\(f(-\frac{4}{c})=c\cdot (-\frac{4}{c})^2 + 8\cdot(-\frac{4}{c}) + c \)

Extremum auf der x-Achse:

\(c\cdot (-\frac{4}{c})^2 + 8\cdot(-\frac{4}{c}) + c=0 \)

\(c_1=4 \)

\(c_2=-4 \)

\(1.)\)

\(f_1(x)=4x^2 + 8x + 4 \)

\(2.)\)

\(f_2(x)=-4x^2 + 8x - 4 \)