Quadratische Gleichungen mit der PQ-Formel lösen

Question

Ich habe ein paar Probleme beim Lösen von Quadratischen Gleichungen mit der PQ-Formel. Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen!

1.) Nutze die PQ-Formel zum Lösen der Gleichungen.

a) \( \frac { 1 } { 7 } x ^ { 2 } + x = - \frac { 10 } { 7 } \)

b) \( ( x + 2 ) ^ { 2 } = - x - 2 \)

c) \( 7 x ^ { 2 } + 5 x + 10 = 8 x^2 + 50 x - 20 \)

d) \( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - x - 5 = 15 + 2 x \)

e) \( 3 x ^ { 2 } + 5 x = - 9 x ^ { 2 } + 11 x + 6 \)

f) \( \frac { 1 } { 4 } \left( - 8 x ^ { 2 } + 2 x + \frac { 64 } { 4 } \right) = - 3 x ^ { 2 } + 4 \)

2.) Ist es sinnvoll, die Lösungen der folgenden Gleichungen mit der PQ-Formel zu berechnen? Begründe, warum nicht oder berechne mit der PQ-Formel.

a) \( 2 x ^ { 2 } + 2 x = 24 \)

b) \( x ^ { 2 } - 3 x = 0 \)

c) \( 5 x ^ { 2 } = 15 \)

d) \( \frac { 1 } { 5 } x ^ { 2 } - \frac { 2 } { 5 } x - 7 = 0 \)

e) \( 5 x - 13 = 3 x \)

f) \( x ^ { 2 } + 3 x - 24 = 8 x \)

3.) Von einem quadratischen Gartengrundstück werden 2 Meter (auf gesamter Breite) an den Nachbar verkauft. Das Grundstück ist nun 15m² groß. Stelle die passende quadratische Gleichung auf und löse sie. Wie lang und breit war das Grundstück vor dem Verkauf? Begründe deine Antwort.

Comments

Tipp: Nachdem du die Gleichung in die Allgemeinform gebracht hast, kannst du auch das Programm zum Lösen quadratischer Gleichungen online benutzen. Einfach Werte vor den x-en eingeben. Rechenweg mit p-q-Formel und Lösungen werden angezeigt.

Falls du dich mit der p-q-Formel noch nicht so gut auskennst, siehe Video hierzu:

https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung

Answer 1

Hmm, ich schreib dir mal nur die Lösungen hin und teilweise noch die Idee dahinter. Alles in Latex zu packen würde viel Zeit beanspruchen Oo.

Wenn was unklar ist, frag gerne nach.

 

Aufgabe 1: Aufpassen: Vor dem x² muss eine 1 stehen, sonst kann man die pq-Formel nicht anwenden. Für die a) gilt zum Beispiel mit 7 zu multiplizieren, bevor man die pq-Formel ansetzt. Dann ist es aber nur noch schlichtes pq-Formel verwenden ;).

 

a) x₁=-5, x₂=-1

b)  x₁=-3, x₂=-3

c) x₁≈0,657, x₂≈-45,657   (hier hast Du Dich eventuell vertippt?)

d) x₁=-4, x₂=10

e) x₁=1, x₂=-1/2

f) x₁=0, x₂=-1/2

 

Aufgabe 2:

a) x₁=-4, x₂=3

b) keine pq-Formel nötig, da man x ausklammern kann -> x₁=0, x₂=3

c) Keine pq-Formel nötig. Man kann durch 5 teilen und dann Wurzel ziehen -> x₁=-√3, x₂=√3

d) x₁=-5, x₂=7

e) Das ist linear. Hast Du das Quadrat vergessen? Wäre ohnehin pq-Formel -> x₁=13/5

f) x₁=-3, x₂=8

 

Aufgabe 3:

Nennen wir die ursprüngliche Länge des Quadrats x. Dann haben wir einen Flächeninhalt von x*x.
Dieser interessiert uns aber gar nicht. Wir sind an dem Flächeninhalt interessiert, wo bei einer Seite 2m fehlen:

(x-2)*x=15 -> x^2-2x-15=0

x₁=5, x₂=-3

D.h. ursprünglich war das Grundstück 5*5m² groß. Dann wurden 2*5m" abgeschnitten (was 15m²) ergibt. Passt also ;).

 

Also, wenn was unklar ist, frag gerne nach. Sonst wie gesagt pq-Formel anwenden und teilweise vorher erst alles auf eine Seite umformen uns ich vergewissern, dass vor dem x² eine 1 steht.

 

Grüße
 

Comments

Danke für die mühe! Verstehe noch paar sachen nicht:

- Was meinst du mit "Vor dem x² muss eine 1 stehen, sonst kann man die pq-Formel nicht anwenden." ? Meinst du wenn z.B eine quadratische gleichung mit x² anfängt das ich beim rechnen erst eine 1 vor dem x² setzen muss? Kannst du dazu ein beispiel machen?

- Bei der Aufgabe 3 steht ja (x-2)*x=15 -> x²-2x-15=0, wie bist du auf die x² gekommen ? Ich weiß nur das du die gleichung mit | -15 umgeformt hast.

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Für den ersten Teil:

Die pq-Formel kannst Du nur anwenden, wenn die Form x²+px+q=0 vorliegt. D.h. vor dem x² darf kein anderer Faktor ausser der (unsichtbaren) 1 stehen.

Nehmen wir mal die 2a):

2x²+2x-24=0 - das erfüllt nich die gegebene Norm. Wir müssen erst durch 2 dividieren

x²+x-12=0 - nun können wir die pq-Formel anwenden und erhalten die obigen Lösungen.

Die 1 ist hierbei unsichtbar und steht eigentlich vor dem x².

 

Für den zweiten Teil. Verzeih, da war ich vielleicht etwas schnell. Ich habe links nur ausgeklammert: (x-2)*x=x²-2x.

Dann klar? ;)

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Habs nun verstanden ;) Komme jedoch bei der 1a) nicht weiter!

Ich habs so versucht:

1/7x² + x = -10/7 | *7
1/7x² + x = -10 | +10

1/7x² + x +10 = 0 | *7

x² + x + 70 = 0

p wäre dann 1 und q 70 jedoch bekomme ich für x1 und x2 keine daten (n.d), was habe ich da falsch gemacht?

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Achtung: man muss alle Summanden gleichzeitig mit 7 multiplizieren!

1/7x^2 + x = -10/7 | *7

x^2 + 7x = -10

x^2 + 7x + 10 = 0 usw.

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Ups, ja klar wie konnte ich das nur vergessen -.- wenn ich jedoch die p-q-formel einsetze bei x² + 7x + 10= 0 dann kommt da für x1 = -2 und x2 = -5 raus statt wie oben x1 = -5 x2 = -1

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Da hast du recht. x^2 + 7x + 10 = 0 kann man ja auch faktorisieren.

(x+2)(x+5) = 0.

x1 = -2 , und x2 = -5.

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Sry, da hatte ich mich wohl vertippt. Es ist in der Tat x₁ = -2 , und x₂ = -5

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Macht nichts! Dank dir verstehe ich nun alles :D Bin gerade dabei jede Aufgabe selbst auszurechnen!

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Super! Freut mich, wenn ich helfen konnte.

Wenn noch ein Problem bei einer Aufgabe besteht, gib Bescheid. Werde wahrscheinlich aber erst morgen Nachmittag zu einer Antwort kommen (wenn sich kein anderer meldet).

Answer 2

1)a)

1/7 x²+x =- 10/7        | +10/7

1/7 x²+x+10/7=0        | *7

x²+7x+10=0               | nun die pq-Formel anwenden

 

x_1,2=-3,5 ±√(12,25-10)

x_1,2= -3,5±1,5               x₁=-2      x₂= -5