Prüfung auf Richtigkeit folgender Gleichung, mit anschließender Begrüundung mit einem Beweis oder Gegenbeispiel

Question

Ich habe eine Frage zu dieser Aufgabenstellung.
"Untersuchen Sie die Richtigkeit der folgenden Gleichungen für drei Mengen A, B und C. Begründen Sie ihre Antworten mit einem Beweis oder Gegenbeispiel:"

- (a) (A \ B)∩C = (A∩C) \ B;

Ich habe nun ein Annahme, um diese Gleichung zu beweisen, entschied mich dafür. Meine  Frage ist nun, muss ich hier noch eine mathematische Formulierung verfassen, wie: Für alle x gilt elementar Reellen Zahlen.... oder reicht es nur, wenn ich einen Beweis bzw. Gegenbeispiel darlege? - Wenn das erste der Fall ist ( Was ich durch den letzten Satz vermute, wie sähe es dann aus? als Beispiel )

Freundliche Grüße

Answer 1

Wenn du beweisen möchtest, dass die Aussage war ist, musst du ein beliebiges Element aus der linken Menge nehmen und zeigen, dass dies in der rechten Menge liegt und umgekehrt.

Hier würde die eine Richtung so aussehen.

Wähle x ∈ (A \ B)∩C .

Also gilt:

x ∈ A ,aber x∉B. Außerdem gilt noch x ∈ C

Hier sehen wir direkt, dass dieses x auch genau in (A∩C) \ B liegt.


Jetzt musst du dir noch ein y aus (A∩C) \ B nehmen und zeigen ,dass es in der linken Teilmenge liegt.
(Der Beweis hier ist relativ trivial).


Eine weitere Möglichkeit wäre, wenn du durch umformen der einen Seite auf die andere kommst.
Kurz:


(A \ B)∩C = (A \ B)∩(C\B)  = (A∩C) \ B