Minimales element gegeben?

Question

Sei A eine nicht-leere Menge und X=P∗(A)={B⊂A|B=∅}die Menge aller nicht-leeren Teilmengen von A, partiell geordnet durch Inklusion. Gibt es in X minimale Elemente bzw. ein kleinstes Element? 

Ich würde Jaa sagen nein weil wenn es mehrere minimale Elemente gibt so gibt es Jaa kein kleinstes element oder? Wie schreib ich das am besten auf ?

Answer 1

Es gibt minimale Elemente in A, nämlich die einelementigen Teilmengen. Ist {a} eine einelementige Teilmenge von A, dann ist nämlich x⊄{a} fü jedes x∈X mit |x| > 1.

Mehrelementige Teilmengen sind nicht minimal. Ist zum Beispiel {a, b, ...} ∈ X mit a≠b, dann ist {a} ein kleineres Element in X.

Ein kleinstes Element gibt es nur, wenn |A| = 1 ist. Ist zum Beispiel {a, b, ...} ∈ X mit a≠b, dann sind sowohl {a}, als auch {b} minimale Elemente, aber weder {a}≤{b}, noch {b}≤{a}.