Untersuchen Sie folgende komplexe/reelle Folgen auf Konvergenz

Question

ich tue mich ziemlich schwer mit dem Thema Konvergenz von Folgen. Ich habe jetzt 2 Übungsaufgaben und weiß nicht so recht wie ich sie lösen soll. Ich stelle jeweils von jeder der zwei Aufgaben eine Teilaufgabe hinein und würde mich freuen wenn mir jemand anhand dieser Schritt für Schritt erläutern könnte, wie ich allgemein bei den anderen Teilaufgaben vorgehen muss.

1) Untersuchen sie folgende reelle Folgen auf Konvergenz:

\( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}, \) definiert durch \( a_{n}:=\frac{3^{n}}{n !} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

2) Untersuchen sie folgende komplexe Folgen auf Konvergenz:

\( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, \) definiert durch \( a_{n}:=\frac{3-i}{\sqrt{n}} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

Answer 1

3ⁿ / n!   versuche dir die Größenordnung der Folgengleider

für großes n vorzustellen.   Im Zähler steht ein Produkt von

3en und im Nenner sind genauso viele Faktoren, allerdings werden

sie mit der Zeil immer größer.

Das motiviert vielleicht die Abschätzung

3ⁿ / n!    =  27*3^n-3 / (  6 * 4*5*6*..*n )

=  4,5 *  (3/4) * (3/5) * (3/6) *.... (3/n)

≤  4,5 *  (3/4)^n-3

Und  (3/4)^n-3 gehört zu einer geometrischen Folge mit |q| < 1 ,

hat also den Grenzwert 0 und damit deine Folge auch.