Partielle Produktintegration: Beweis einer differenzierbaren Funktion

Question

Beweisen Sie, dass für eine differenzierbare Funktion u(x) gilt:

∫ u ⁿ • u^ι  dx = 1÷n+1  • uⁿ⁺¹ +C   (n∈ℕ)

Mein Ansatz:

∫ u ⁿ • u^ι  dx     = u • uⁿ -∫ u • nu^n-1 dx  +C      

                       = uⁿ⁺¹ - uⁿ⁺¹ -∫ uⁿ • u^ι dx +C

                       = uⁿ⁺¹ - uⁿ⁺¹ - uⁿ⁺¹ -∫ u • nu^n-1 dx +C

                       =  - uⁿ⁺¹  - uⁿ⁺¹ -∫ uⁿ • u^ι dx +C

                      = -2uⁿ⁺¹ - ∫ uⁿ • u^ι dx +C   

2 ∫ u ⁿ • u^ι  dx =  -2uⁿ⁺¹ +C

 ∫ u ⁿ • u^ι  dx   =  -uⁿ⁺¹   +C

Ab dem zweiten Schritt war ich mir nicht mehr sicher. Ich weiß nicht wie Lösung 1÷n+1  • uⁿ⁺¹ +C zustande kommen soll.

Für Hilfe bei dieser Aufgabe wäre ich sehr dankbar.               

 

Answer 1

Hi,

ich glaube das ist einfacher. \( \frac{1}{n+1} u^{n+1}(x) \) ist doch Stammfunktion von \( u^n(x) \cdot u'(x) \) weil gilt

$$  \frac{d}{dx} \frac{1}{n+1} u^{n+1}(x) = u^n(x) \cdot u'(x)  $$ und damit ist alles gezeigt.