Auf der Menge der Paare (a,b) , Äquivalenzrelation

Question

Auf der Menge der Paare (a,b) ∈ ℤ×ℤ seien die folgenden Relationen gegeben:

(a)    (a₁,b₁) R ( a₂,b₂) <=> a₁+b₁=a₂+b₂

(b)    (a₁,b₁) R (a₂,b₂) <=> a₁+a₂=b₁+b₂

(c)    (a₁,b₁) R (a₂,b₂) <=> a₁+b₂=a₂+b₁

Bei welcher (welchen) dieser Relationen handelt es such um eine Äquivalenzrelation

Answer 1

Bei a

Bei b nicht, ist nicht reflexiv; denn (1;2) R (1;2) ist falsch, weil 1+1 = 2+2 falsch ist.

und c wohl auch.  Ich hatte ein vermeintliches Gegenbeispiel,

das war aber falsch. Transitivität stimmt; denn

(a;b) R (c;d) und (c;d) R (e;f)

==>  a+d = b+c und c+f = d+e

==>  a+d = b+c und c-e = d-f

1. minus 2. Gleichung

==>  a+f = b+e

==> (a;b) R ( e;f) .