Induktionsbeweis: ∏ (1+ (1/n+i)) = 2-(1/n+1)

Question

ich soll folgende Aussage mit vollständiger Induktion beweisen:

Dies gelte für alle n ∈ ℕ.

Der Induktionsanfang ist klar, ich scheitere nur jedes Mal beim Induktionsschritt mit n + 1.

Bitte um Hilfe :(

Answer 1

Du musst also zeigen, wenn für ein n die Behauptung

   " Produkt für i = 1 bis n über ( 1 +   1 / (n+i)  )   =   2  -    1 / (n+1)   "

stimmt, dann auch

" Produkt für i = 1  bis n+1 über ( 1  +   1 / (n+1+i)  )  =   2  -    1 / (n+1+1)   "

Also fange an mit

Produkt für i = 1  bis n+1 über ( 1  +   1 / (n+1+i)  )

= Produkt für i = 2  bis n+2 über ( 1  +   1 / (n+i)  )  [ Damit man sowas ähnliches wie die Ind.vor. hat]

Und dann erst mal die letzten 2 Faktoren extra schreiben.

= Produkt für i = 2  bis n über ( 1  +   1 / (n+i)  )     *  ( 1  +   1 / (n+n+1)  ) *( 1  +   1 / (n+n+2)  )

Und dem   Produkt für i = 2  bis n über ( 1  +   1 / (n+i)  )  fehlt der Faktor für n=1 damit man die

Ind.vor. anwenden kann, der ist  1 + 1/(n+1) )= (n+2)/(n+1). Den nehmen wir dazu und dividieren durch ihn,

dann ändert sich nix.

= Produkt für i = 1  bis n über ( 1  +   1 / (n+i)  )    / ( (n+2)/(n+1)  )   *  ( 1  +   1 / (n+n+1)  ) *( 1  +   1 / (n+n+2)  )

Jetzt die Ind. vor. anwenden

= (  2  -    1 / (n+1) )   / ( (n+2)/(n+1)  )   *  ( 1  +   1 / (n+n+1)  ) *( 1  +   1 / (n+n+2)  )

und dann mal was rechnen:

= (  2  -    1 / (n+1) )   * ( (n+1)/(n+2)  )   *  ( 1  +   1 / (n+n+1)  ) *( 1  +   1 / (n+n+2)  )

= (  (2n+1) / (n+1) )   * ( (n+1)/(n+2)  )   *  ( 1  +   1 / (2n+1)  ) *( 1  +   1 / (2n+2)  )

= (  (2n+1) / (n+1) )   * ( (n+1)/(n+2)  )   *  ( (2n+2) / (2n+1)  ) *( (2n+3)  / (2n+2)  )

alles auf einen Bruchstrich:

= (  (2n+1)   *  (n+1) * (2n+2) * (2n+3)   /   ((n+1) * (n+2)  )   *  (2n+1) * (2n+2)  )

reichlich kürzen

= (    (2n+3)  / (n+2)  )

=  2  -    1 / (n+2)     Und das ist das gewünschte Ergebnis von

" Produkt für i = 1  bis n+1 über ( 1  +   1 / (n+1+i)  )  =   2  -    1 / (n+1+1)   "

q.e.d.

Comments

Wenn du das Wort "Teleskopsumme" schon mal gehört hast, dann könntest du dir auch erschließen, was mit einem "Teleskopprodukt" gemeint sein könnte.

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Schöne Idee, passt aber wohl nicht zur Aufgabe

"ich soll folgende Aussage mit vollständiger Induktion beweisen:"

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Danke für die ausführliche Erklärung, jetzt macht alles Sinn :)

Answer 2

Ich hab Dir hier mal meine Lösung, vielleicht ein bisschen leserlicher.

Ml3.pdf (0,2 MB)

Answer 3

Hi,
der IA ist klar. Dann betrachte
$$ \prod_{i=1}^{n+1} \left(1 + \frac{1}{n+1+i} \right) = \frac{\prod_{i=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{n+i} \right)}{1+\frac{1}{n+1}} \left(1 + \frac{1}{2n+1} \right) \left(1 + \frac{1}{2n+2} \right) = \\ 2 - \frac{1}{n+2}   $$