x^4+4=0 => x=1+i? Warum?

Question

 

Wir sind bei den komplexen Zahlen angekommen und sollten nun quadratische Gleichungen lösen. Soweit so gut, aber kann mir bitte jemand erklären warum die 4. Wurzel aus (-4) 1+i entspricht?

Also warum ist ⁴√(-4) = 1+i       ? 

 Vom Ausgangspunkt x⁴+4=0 habe ich umgeformt auf x⁴=-4  => x = ⁴ √(-1 * 4)   = i * √2 

Was habe ich falsch gemacht? Ihr seid meine letzte Hoffnung :D

Liebe Grüße,

Schulaa

Answer 1

die Gleichung x^4+4=0 hat in C vier Lösungen. 

Eine davon ist vielleicht x = (1+i) ,

Kontrolliere das, indem du bei  (1+i)^4 die Klammern auflöst. 

Dein x = i*√(2) passt nicht, denn (i*√(2))^4 = + 4 .

Dein Fehler ist bei ⁴√(-1) . Das wäre nach deiner Logik ²√(i) ≠ i .

Theorie zur Berechnung von 4. Wurzeln aus komplexen Zahlen findest du z.B. in der Wikipedia. https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen 

Comments

Vielen Dank für die schnelle Hilfe, jetzt ist mir mein Fehler klar!

Answer 2

Hallo Schulaa,

hier  ⁴√(-1 * 4)   = i * √2   stimmt leider überhaupt nichts:

Du musst die vier komplexen Lösungen der Gleichung  x⁴ = - 4  finden:

x = -1 - i    ∨    x = -1 + l     ∨    x = 1 - i    ∨   x = 1 + i

Hier findest du eine allgemeine Beschreibung, wie man das machen kann: 

https://www.mathelounge.de/370331/wurzeln-bestimmen-sie-alle-komplexen-losungen-der-gleichung

Gruß Wolfgang