Wurzeln komplexer Zahlen w^4 = -16

Question

Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

\[w^{4}=-16\]

(i) Unter Verwendung von Polarkoordinaten

(ii) Unter Verwendung des Ansatzes \( w=a+b i \)

Answer 1

-16 als komplexe Zahl in Polarkoordinaten ist   -16  =   16*(cos(180°) + i*sin(180°) )

          =  16*(cos(π) + i*sin(π) ).

Bei der 4. Wurzel muss man den Winkel durch 4 teilen und die 4. Wurzel aus dem Betrag ziehen,

also ist die erste 4. Wurzel  w1=2*((cos(45°) + i*sin(45°) ) und wenn man mit

  -16  =   16*(cos(360°+180°) + i*sin(360°+180°) )   beginnt gibt es

w2 = 2*((cos(135°) + i*sin(135°) )   und entsprechend bei

  -16  =   16*(cos(2*360°+180°) + i*sin(2*360°+180°) )

gibt es w3 = 2*((cos(225°) + i*sin(225°) )   und entsprechend bei

  -16  =   16*(cos(3*360°+180°) + i*sin(3*360°+180°) )

 gibt es w4 = 2*((cos(315°) + i*sin(315°) )  .

Das sind die 4 Wurzeln in Polarkoordinaten, statt Gradmaß

nimmt man allerdings häufig Bogenmaß für die Winkel.

Für  w=a+bi formt  man  besser erst mal um

w^4 = -16

<=>   w^4 + 16 = 0

<=>  (w^2 -4i) * (w^2 + 4i) = 0

<=> (w-(√2 + i√2 ))* (w+(√2 + i√2 ))*(w-(√2 - i√2 ))* (w+(√2 - i√2 ))

und liest a und b ab.

Answer 2

\((a+bi)^4=-16\)

\(a^4+4a^3·bi+6a^2b^2i^2+4ab^3·i^3+b^4·i^4=-16\)

\(a^4+4a^3·bi-6a^2b^2-4ab^3·i+b^4=-16\)

\(a^4-6a^2b^2+b^4+(4a^3b-4ab^3)·i=-16+0i\)

        \(a^4-6a^2b^2+b^4=-16\qquad (1)\)

        \(4a^3b-4ab^3=0 \Rightarrow a^2=b^2\qquad (2)\)

(2) in (1) einsetzen:

        \(a^4-6a^4+a^4=-16\)

                       \(-4a^4=-16\)

                             \(a^4=16\)

\(a=\pm\sqrt{2}\quad; \quad b=\pm\sqrt{2}\)

$$ z_1= \sqrt{2}+i\sqrt{2} ; z_2= \sqrt{2}-i\sqrt{2} ; z_3= -\sqrt{2}+i\sqrt{2} ; z_4= -\sqrt{2}-i\sqrt{2} $$