Wurzeln komplexer Zahlen

Question

Sei z eine komplexe Zahl

Wie kann ich zeigen, dass eine komplexe Zahl w existiert, so dass w² = z bzw.  w=√z ?

Und wie viele solche w existieren für ein gegebenes z?

Answer 1

Nun,

w ² = z

<=> ( a + b i ) ² = c + d i

<=> a ² + 2 a b i - b ² = c + d i

<=> 2 a b = d und a ² - b ² = c

<=> a = d / ( 2 b ) und ( d ² / 4 b ² ) - b ² = c

<=> a = d / ( 2 b ) und d ² - 4 b ⁴ = 4 b ² c

<=> a = d / ( 2 b ) und 4 b ⁴ + 4 b ² c = d ²

<=> a = d / ( 2 b ) und b ⁴ + b ² c = d ² / 4

<=> a = d / ( 2 b ) und b ⁴ + b ² c + ( c ² / 4 )  = ( c ² + d ² ) / 4

<=> a = d / ( 2 b ) und ( b ² + ( c / 2 ) ) ²  = ( c ² + d ² ) / 4

<=> a = d / ( 2 b ) und  b ² + ( c / 2 ) )   = √ ( c ² + d ² ) / 2

<=> a = d / ( 2 b ) und  b ² = ( √ ( c ² + d ² ) - c ) / 2

<=> a = d / ( 2 b ) und  b = ± √ ( ( √ ( c ² + d ² ) - c ) / 2 )

<=> a = ± d / ( 2 √ ( ( √ ( c ² + d ² ) - c ) / 2 ) ) und  b = ± √ ( ( √ ( c ² + d ² ) - c ) / 2 )

 

Nun kann man bei gegebenem z = c + d i die Werte von c und d in diese Formel einsetzen und erhält die beiden Wurzeln:

± ( a + b i ) = ± ( d / ( 2 √ ( ( √ ( c ² + d ² ) - c ) / 2 ) ) + √ ( ( √ ( c ² + d ² ) - c ) / 2 ) i )

 

Beispiel:

z = -12 + 16 i

=> c = - 12 , d = 16

also:

√ ( -12 + 16 i )

= ± ( 16 / ( 2 √ ( ( √ ( 144 + 256 ) - ( -12 ) ) / 2 ) ) + √ ( ( √ ( 144 + 256 ) - ( -12 ) / 2 ) i )

= ± ( 16 / ( 2 √ (  20 + 12 )  / 2 ) ) + √ ( ( 20 + 12 ) / 2 ) i )

= ± ( 16 / ( 2 * 4 ) + 4 i )

= ± ( 2 + 4 i )