Wie viele Möglichkeiten Zahlen in Ecken von eines Achtecks so zu schreiben, dass...

Question

Man hat ein Vieleck mit acht Ecken und will da in die ecken die Zahlen eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben und acht rein schreiben. Die Zahlen in zwei benachbarten Ecken sollen zusammen (als Summe) eine Zahl ergeben, die nur durch sich selbst und durch eins teilbar ist. Wie viele Möglichkeiten hat man, das Achteck so zu beschriften?

Comments

Ist dein Text vollständig?

Die Zahlen in zwei benachbarten ecken sollen eine zahl ergeben, 

Kann man das folgendermassen lesen?

Die Zahlen in zwei benachbarten Ecken zusammen sollen eine Zahl ergeben, 

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Ja, wenn man sie addiert, soll eine Primzahl rauskommen!

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Ich habe das in deinem Text so ergänzt.

Es ist auf jeden Fall sicher, dass sich gerade und ungerade Zahlen abwechseln müssen, da auf jeden Fall als Summe mindestens 3 rauskommt.

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ja, das stimmt!

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Also ich würd mal sagen es gibt 32 Möglichkeiten.

Answer 1

Also zunächst mal müssen immer eine ungerade Zahl und eine gerade Zahl abwechselnd geschrieben werden.

Die Anzahl an Möglichkeiten kannst du berechnen. Dann musst du von diesen Möglichkeiten allerdings alle Abziehen, wo folgende Zahlen nebeneinander stehen:

18, 27, 36, 45 und 78

Alle anderen Möglichkeiten wären meiner Meinung nach erlaubt.

Comments

wie viele Möglichkeiten gäbe es dann bei dir?

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Naja es gibt als Ketten nur
12583476
12385674

Diese kann ich jetzt an 8 Stellen beginnen lassen und kann sie im Uhrzeigersinn oder gegen den Urzeigersinn anordnen. Dementsprechend kommt man auf

2 * 8 * 2 = 32 Möglichkeiten.

Answer 2

Kombinationsmöglichkeiten (z.B. 1 kann mit 2, 4 und 6 kombiniert werden):

1:   2; 4; 6

2:   1; 3; 5

3:   2; 4 8

4:   1; 3; 7

5:   2; 6; 8

6:   1; 5; 7

7:   4; 6

8:   3; 5

Es fällt auf, dass 7 und 8 nur mit genau zwei Zahlen kombiniert werden können, ihre Nachbarn stehen also fest.
Jetzt kann man für die 7 acht Plätze aussuchen und hat noch zwei Möglichkeiten die Nachbarn zu platzieren (4--7--6 oder 6--7--4). Nachdem die 7 platziert wurde gibt es für die 8 nur noch zwei mögliche Positionen und zwar beispielhaft für den Fall 4--7--6: 5--8--3--4--7--6 oder 4--7--6--5--8--3.
1 und 2 sind über den Zwang immer gerade und ungerade Zahlen in wechselnder Folge anzuordnen festgelegt. Es gibt also nur 8 * 2 * 2 Möglichkeiten die Zahlen zu verteilen.
Die Kombination in der 7 und 8 genau gegenüber liegen ist nicht erlaubt, da sonst die Reihenfolge von abwechselnd geraden und ungeraden Zahlen nicht eingehalten wird und so zwangsweise eine Zahl, die durch zwei teilbar ist, in der Summe benachbarter Zahlen entstehen würde .