Aufgabe H2 (Analyse von Znm) (6 Punkte) Wir wollen beweisen, dass (Znm,+) isomorph zum direkten Produkt von (Zn ,+) und (Zm,+) ist, falls ggT(n, m) = 1. (siehe G5 (a) für die Definition des direkten Produkts) (i) Seien k, n ∈ N ∗ und k ein Teiler von n. Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung wohldefiniert ist und einen Gruppenhomomorphismus der Gruppen (Zn ,+) und (Zk ,+) darstellt. f : Zn → Zk [a]n 7→ [a]k (Wir schreiben hier [a]n := {b ∈ Z: a ≡ b (mod n)} anstatt wie üblich aewegen der Eindeutigkeit) (ii) Seien nun die Homomorphismen f1 : Znm → Zn und f2 : Znm → Zm wie in (i) definiert. Nach G5 (b) ist dann auch f : Znm → Zn × Zm [a]nm 7→ ([a]n , [a]m) ein Homomorphismus. Zeigen Sie, dass f ein Isomorphismus ist. (iii) Geben Sie den Isomorphismus aus (ii) für Z6 explizit an.
