Isomorphismus von Gruppen beweisen

Question

folgende Aufgabe ist gegeben.

Ich weiß, dass f(a+b) = f(a) • f(b) eine bijektive Abbildung sein muss, aber wie schreibt man das richtig hin bzw. wie lautet der Lösungsweg und Lösung?

a) Man zeige, dass (G,*) und (G, ⊕) isomorphe Gruppen sind, d.h. dass ein bijektiver Gruppenhomomorphismus von (G, *) nach (G, ⊕) existiert.
b) Man zeige, dass die Gruppen (G, ⊙) und (G, ⊗) nicht isomorph sind.
c) Man bestimme alle weiteren Gruppenstrukturen auf G.

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	a	e
c	c	b	e	a

⊕	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	b	c	e
b	b	c	e	a
c	c	e	a	b

⊙	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

Vielen Dank für die Hilfe

Answer 1

Für a) betrachte f: (G,*) →(G, ⊕) mit

f(e)=e  f(a)=b und f(b)=a und f(c)=c

Denn in (G,*) ist a selbstinvers und in (G, ⊕) ist das b.

Bijektiv ist das ja . Jetzt ist zu prüfen, ob das auch ein Hom. ist.

Also immer gilt f(x*y)=f(x)⊕f(y).

Wenn eines von beiden das e ist, sieht man gleich, dass es klappt.

Bei f(a*a) und f(b*b) auch, s.o. selbstinvers.

f(a*c)=f(b)=a

f(a)⊕f(c)=b ⊕c = a  klappt also auch. etc.