Wir haben hier für n>1 ungerade die Gruppe (Z/nZ,+) gegeben.
Sei ψ: G → G, x ↦2x (ich habe die Abbildung umbenannt, s.u.)
Wir müssen zeigen, dass ψ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist.
1. Seien x,y ∈ Z/nZ dann ist
ψ(x+y)=2(x+y)=2x+2y=ψ(x)+ψ(y),
also ist ψ ein Homomorphismus.
2. Da n ungerade gilt ggT(2,n)=1, wir können also den Satz von Euler-Fermat anwenden und erhalten
$$ 2^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod (n)$$
Mit der Eulerschen φ-Funktion (deshalb die Umbenennung). Damit können wir aber ganz einfach eine Umkehrfunktion finden. Wir setzen
$$ \omega: G \to G, x \mapsto 2^{\varphi(n)-1} x $$
Dann gilt für \( x\in G\)
$$ (\psi \circ \omega) (x) = 2\cdot 2^{\varphi(n)-1}\cdot x=2^{\varphi(n)}\cdot x= x$$
$$ (\omega \circ \psi )(x) = 2^{\varphi(n)-1}\cdot 2\cdot x=2^{\varphi(n)}\cdot x= x $$
Die Funktion ist also insb. bijektiv.
Grüße
