Isomorphismus von Gruppen

Question

Aufgabe: Zeige, dass die Gruppen (ℤ₄, ⊕₄, [0]₄) und (ℤ₅\{[5]₅}, ⊗₅,[1]₅) isomorph sind.

Problem/Ansatz:

Zu zeigen ist ja, dass φ:ℤ₄ →ℤ₅   φ mit ⊕₄ und ⊗₅ verträglich ist und, dass φ bijektiv ist. Wie mache ich das?

Comments

Die beiden Verknüpfungstafeln sehen etwa wie folgt aus:$$\Large\begin{array}{c}\boxed{\mathbb Z/4\mathbb Z}\\[8pt] \colorbox{#bbb}{\vphantom0\small⊕}\colorbox{#ccc}0\colorbox{#ccc}1\colorbox{#ccc}2\colorbox{#ccc}3\\[-1px] \colorbox{#ccc}0\colorbox{#ff0}0\colorbox{#f90}1\colorbox{#0ff}2\colorbox{#f9f}3\\[-1pt] \colorbox{#ccc}1\colorbox{#f90}1\colorbox{#0ff}2\colorbox{#f9f}3\colorbox{#ff0}0\\[-1pt] \colorbox{#ccc}2\colorbox{#0ff}2\colorbox{#f9f}3\colorbox{#ff0}0\colorbox{#f90}1\\[-1pt] \colorbox{#ccc}3\colorbox{#f9f}3\colorbox{#ff0}0\colorbox{#f90}1\colorbox{#0ff}2\\[-1pt] \end{array} \Large\begin{array}{c}\boxed{(\mathbb Z/5\mathbb Z)^*}\\[8pt] \colorbox{#bbb}{\vphantom0\small⊗}\colorbox{#ccc}1\colorbox{#ccc}2\colorbox{#ccc}4\colorbox{#ccc}3\\[-1px] \colorbox{#ccc}1\colorbox{#ff0}1\colorbox{#f90}2\colorbox{#0ff}4\colorbox{#f9f}3\\[-1pt] \colorbox{#ccc}2\colorbox{#f90}2\colorbox{#0ff}4\colorbox{#f9f}3\colorbox{#ff0}1\\[-1pt] \colorbox{#ccc}4\colorbox{#0ff}4\colorbox{#f9f}3\colorbox{#ff0}1\colorbox{#f90}2\\[-1pt] \colorbox{#ccc}3\colorbox{#f9f}3\colorbox{#ff0}1\colorbox{#f90}2\colorbox{#0ff}4\\[-1pt] \end{array}$$
Die Farbgestaltung liefert vielleicht einen Hinweis.

---

Die zweite Gruppe sollte die Gruppe (ℤ₅\{[0]₅},⊗₅,[1]₅) sein, nicht die angegebene.

---

Worin liegt der Unterschied? Wie sieht denn die Verknüpfungstafel von (ℤ₅\{[0]₅},⊗₅,[1]₅) aus?

---

Die korrektur war nur für die Fragestellung, du hast das in der Tabelle ja schon berücksichtigt, vielen dank dafür

Answer 1

dass φ:ℤ₄ →ℤ₅ φ mit ⊕₄ und ⊗₅ verträglich ist

Nein. Die Aufgabe ist nicht, zu zeigen dass die Gruppen

        (ℤ₄, ⊕₄, [0]₄)    und    (ℤ₅, ⊗₅, [1]₅)

isomorph sind. Kann ja auch garnicht sein, weil (ℤ₅, ⊗₅,[1]₅) keine Gruppe ist.

Wie mache ich das?

Gib einen Isomorphismus an.

Tipp: Die Funktion

        \(\varphi:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ x\mapsto 2^x\)

ist ein Isomorphismus zwischen

        \((\mathbb{R}, +, 0)\) und \((\mathbb{R}\setminus\{0\}, \cdot, 1)\).

Comments

Bei der Zweiten gruppe habe ich einen Fehler gemacht, es soll die Gruppe (ℤ₅ \{[0]₅}, ⊗₅,[1]₅) sein.