Drachenviereck Summe der Längen beider Diagonalen ist größer, als die Hälfte des Umfangs

Question

Zeigen Sie, dass für ein konvexes Drachenviereck, bei dem die kürzere Diagonale die längere im Verhältnis 1:4 teilt, die Summe der Längen beider Diagonalen größer ist, als die Hälfte des Umfangs! Anmerkung: Ein Viereck ist genau dann ein Drachenviereck (oder auch symmetrischer Drachen), wenn eine Diagonale Symmetrieachse ist. Ein Viereck ist ein schiefer Drachen, wenn eine Diagonale die andere halbiert. Somit ist jeder symmetrische Drachen ein schiefer Drachen, aber nicht umgekehrt.

Answer 1

Hat die längere Diagonale Länge x + 4x und die kürzere y+y dann

sind die Drachenseiten je 2 mal √(x² +y² ) und √(16x² +y² ).

Also ist deine Beh. gleichbedeutend mit

5x + 2y > √(x² +y² ) + √(16x² +y² )  ≥ √ ( x² +y²  + 16x² +y² ) =√ (17x² + 2y²)

da alles pos. ist kannst du quadrieren

(5x+2y)² > 17x² + 2y²

25x²+20xy + 4y² > 17x² + 2y²

8x²+20xy + 2y² >  0 und das ist für alle pos. x, y erfüllt.