Ich muss folgendes Beweisen:
Es gibt eine positive reelle Zahl x mit der Eigenschaft x^3 = 3
Bisher habe ich folgendes:
Sei \(S = \{ x \geq 0 | x^3 \leq 3\} \) mit, \(1\ge0 \) und \(1^3=1\ge3 \) haben wir \( 1 \in S \), und somit \(S \neq \emptyset\). Es resultiert: \(\forall x \in S, x < 3\) , S ist also nach oben beschränkt. Mit der Supremumseigenschaft hat S eine kleinste obere Schranke \(s: s=sup (S)\).
Da \(1 \in S\), wissen wir das gilt \( S>1\).
Somit ist entweder s die Lösung oder einer der beiden Fälle:
1)\(s^3<3\)
2)\(s^3>3 \)
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiß wie ich zeigen soll, dass weder \(s^3<3\) noch \(s^3>3 \) gilt, sondern s^3=3.
Eine Idee war:
1)\(s^3<3\). Sei \( \varepsilon = \frac{3-s^3}{3s+1}\) mit\( 0<\varepsilon<1\). Dann folgt:
\((s+\varepsilon)^3=s^3+3s^2\varepsilon+3s\varepsilon^2+\varepsilon^3 \le s^3+3s^2\varepsilon+3s\varepsilon^2+\varepsilon^2=s^3+\frac{3-s^3}{3s+1}(3s+1)=3\)
-> Widerspruch da: \(s + \varepsilon\) ebenso in S ist, und somit s nicht die kleinste obere Schranke von S darstellen kann.
2) \(s^3>3 \) wieder mit: \( \varepsilon = \frac{3-s^3}{3s+1}\) und \(\varepsilon>0\). Dann folgt:
\((s-\varepsilon)^3=s^3-3s^2\varepsilon+3s\varepsilon^2-\varepsilon^3\ge s^3-3s^2\varepsilon+3s\varepsilon^2=s^3-3s\frac{s^3-3}{3s}=3. \)
-> Widerspruch da: \(s - \varepsilon\) ebenso in S ist, und somit s nicht die kleinste obere Schranke von S darstellen kann. Somit gilt s^3=3.
Jedoch sind die Ungleichungen falsch, wie ich bemerkt habe, und ich bin mir nicht sicher wie das nun gehen soll.
