Überprüfen Sie, ob die folgenden Mengen Unterräume

Question

Dafür muss die Menge die zwei bedingungen erfüllen :

1) U ≠ leere menge, also es muss die Nullvektor behalten.

2)  αv + βw  ∈ U;  α,β∈ℝ  v,w sind Vektoren.

Zu a) habe ich die erste bedingung gezeigt, aber die zweite veriirt mich. Ich setze v und w  wobei im v alle a und b sind a1 und b1 und bei w - a2 und b2 und ich bekomme

α(a1+b1) + β(a2+b2)

α(3a1-b1) + β(3a2-b2)

α(2a1+b1) + β(2a2+b2)  

aber ich habe das Gefühl es reicht nicht, oder man muss es anders zeigen. Könnte jemand mal helfen?

Comments

Hankuß kann nichts dafür, aber:

So wie die Mengen in der Aufgabenstellung stehen, sind das keine Teilmengen von ℝ³.

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Doch, nur  d) ist kein Unterraum da es in R4 liegt.

Answer 1

Du kannst dir das ja auch etwas einfacher schreiben:

etwa bei a)

Die Elemente von U sind alle   a*(1;3;2) +b*(1;-1;1) mit a,b ∈ℤ.

Und um etwa die Unterraumeigenschaft zu widerlegen, reicht es

einen zu finden, von dem ein geeignetes Vielfaches nicht in U ist.

Nach deinem Kriterium  αv + βw  ∈ U;  α,β∈ℝ  v,w sind Vektoren.

also etwa  v =  1*(1;3;2) +1*(1;-1;1)  = (2 ; 2 ; 3 )

und  α =0,5  und  ß=0

Dann müsste ( 1; 1 ; 1,5 ) in U sein. Der ist aber

nicht in der Form  a*(1;3;2) +b*(1;-1;1) mit a,b ∈ℤ.

darstellbar.  Also bei a) ist es kein Unterraum.

Bei b) wird es klappen (Das musst du dann nat. allg. beweisen

bei c) nicht   und bei d) nicht, weil das Elemente von R⁴ sind.

Comments

Danke für den Antwort! Können wir dann schlussfolgern von einen Beispiel mit Zahlen, dass es für alle alpha und beta gelte?

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Nein, mit einem Beispiel kannst du nur was widerlegen.

Beweisen, dass etwas für alle stimmt, geht nur allgemein.

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Wie kann ich das dann machen, also mit was ich gezeigt hat geht nicht glaube ich... Für b) zum Beispiel

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Die Elemente von U sind alle   a*(1;3;2) +b*(1;-1;1) mit a,b ∈ℝ.

Nullvektor OK, wird mit a=b=0 erreicht.

Seien nun  v und w aus U, dann gibt es a1 , b1 , a2, b2 ∈ℝ

mit   v = a1*(1;3;2) +b1*(1;-1;1)

und w =  a2*(1;3;2) +b2*(1;-1;1)

Und nun mit deinem Kriterium: Seien α,β ∈ℝ , dann gilt

 αv + βw  =  α(  a1*(1;3;2) +b1*(1;-1;1)  )+ β ( a2*(1;3;2) +b2*(1;-1;1) )

     =    (etwas mit den Vektorraumaxiomen rumrechnen ... )

       = (  α* a1+ β * a2) *(1;3;2) +  (  α* b1+ β * b2) *(1;-1;1)

Und α* a1+ β * a2 und α* b1+ β * b2 sind wieder

Elemente von ℝ. [ Im Gegensatz zu a) bei ℤ gilt das eben so nicht !]

Also ist

 αv + βw   aus U  .   Bingo !

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Also Grundsetzlich, muss ich schon wissen ob es Unterraum ist oder nicht um es zu Beweisen. Weil zum Beispiel wenn ich zu (a) nicht mit einer Wert geprüft hat könnte ich genau das gleiche schreiben und es würder stimmen.

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Ach quatsch hab gerade bemerkt dass, wenn man ℝ mal ℤ rechnet bekommt wieder ℝ. Alles klar.