Überprüfen, ob folgenen Mengen Unterräume des R^3 sind

Question

Aufgabe:

(1) U ={x,y,z) : 2x-4y + z = 15

(2) U ={x,y,z) : 2x-7y +3z - 7= 15
Problem/Ansatz:

habe hier 2 Mengen, mann muss zeigen ob diese Unteräume des R³ sind. Ich weiß, dass beide keine Unteräume sind, da die  Eigenschaft λu nicht erfüllt ist. Zu meinem Problem : Es gibt noch eine Eigenschaft, welche besagt U darf nicht leer sein.  Diese Eigenschaft, verstehe ich leider nicht so Recht, also wenn ich jetzt z.B. den Nullvektor hernehme (0,0,0) und bei (1) und (2) einsetze, dann steht bei (1) 0 = 15 und bei (2) -7 = 15. Heißt es jetzt, dass diese Eigenschaft ebenfalls nicht erfüllt ist?

Comments

Anm:

Wenn du weißt, dass (0,0,0) kein Element der Menge ist, kannst du direkt folgern, dass die Menge kein UVR sein kann. UVRs enthalten nämlich immer den Nullvektor.

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Hmm, also doch? Also gilt praktisch, dass wenn der Nullvektor nicht enthalten ist, ist es automatisch kein Untervektorraum? Welche Eigenschaft wäre das?

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Welche Eigenschaft wäre das?

Der UVR ist nicht leer, d.h es gibt ein (x,y,z) im UVR

+ Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation

(0,0,0)=0*(x,y,z)

Eine separate Eigenschaft ist das aber nicht wirklich.

Also gilt praktisch, dass wenn der Nullvektor nicht enthalten ist, ist es automatisch kein Untervektorraum?

So ist es.

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VIelen Dank, jetzt ist es klar

Answer 1

Nein, die sind beide nicht leer.

Bei 1 ist z.B.   (5;0;5) ein Element.

Comments

Okay also gilt U ist nicht leer? Das heißt nur die λu Eigenschaft ist gebrochen, habe ich das so richtig verstanden?

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auch die Eigenschaft:

Die Summe zweier Elemente ist

wie ein Element aus U ist nicht erfüllt.

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oh sorry, die Eigenschaft hatte ich vergessen. Aber bin leider noch immer verwirrt. @EmNero meint, dass der Nullvektor kein Teil der Menge ist?

Von dem was ich jetzt verstanden habe. Keine der drei Eigenschaften gilt?

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Das kommt auf deine Eigenschaften an.

Wenn:  "0 gehört dazu" auch eine Eigenschaft ist,

(Die üblicherweise auch gefordert wird.)

dann ist diese nicht erfüllt.

Du sprachst aber vorher von:

"Die Menge ist nicht leer.!

Das ist aber sehr wohl erfüllt.