Abstand von Ebene und Punkt bestimmen. E: 1/√6 * (2,-1,-1) *x=1/√6

Question

Gegeben sind die Ebene E: 1/wurzel6 * (2,-1,-1) *x=1/wurzel6 und der Punkt P= (5,-1,-2) 

soll den Abstandt Punkt von der Ebene

und den Lotfußpunkt P des Lotes von P auf E berechnen.

Kann ich eigentlich schaffen nur mich verwirrt die Ebene. die x=1/wurzel6 zum beispiel, ist das die Hesseform?

Wenn ich sie in die Koordinatenform bringe ist es eigentlich einfach, nur der Weg dahin ist halt schwer für mich

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Titel: Abstand Ebene Punkt (Reupload, bitte HILFE :))

Stichworte: abstand,punkt,ebene

Gegeben sind die Ebene E: 1/wurzel6 * (2,-1,-1) *x=1/wurzel6 und der Punkt P= (5,-1,-2) 

soll den Abstandt Punkt von der Ebene

und den Lotfußpunkt P des Lotes von P auf E berechnen.

Kann ich eigentlich schaffen nur mich verwirrt die Ebene. die x=1/wurzel6 zum beispiel, ist das die Hesseform?

Wenn ich sie in die Koordinatenform bringe ist es eigentlich einfach, nur der Weg dahin ist halt schwer für mich

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Kann man den Abstand mit der Formel berechnen?

(2*5 -1*-1 -1*-2) / wurzel6 ?

Answer 1

Deine HNF ist: 1/wurzel6 * (2,-1,-1) *x=1/wurzel6
WEnn Du jetzt den Punkt P anstelle von x hinschreiben würdest, dann wäre der Abstand doch schnell ausgerechnet, oder?

x ist in Deiner Angabe sicher als Vektor geschrieben \(\vec{x}\)=(x,y,z) und das Skalarprodukt ausgerechnet ergibt die Koordinatenform.

Comments

Kann ich schlecht beantworten, weil ich das selber wissen will wie es geht.

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Was von "P anstelle von x hinschreiben ... ausrechnen" hast Du nicht verstanden?

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Also wenn ich P für x einsetze kommt als Abstand : 13 ?

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Hm,

wie kommst Du auf das Ergebnis, ahh ja, da fehlt die wurzel und rechts der Gleichung steht auch noch was. ich bekomme gehübscht \(2\sqrt{6}\) raus

Answer 2

Hallo Jokol,

Da die HNF   1/√6·[2,-1,-1] * \(\vec{x}\) - 1/√6 = 0   der Ebene gegeben ist, erhältst du den gesuchten Abstand aus

d(E,P) = | 1/√6·[2,-1,-1] * [5, -1, -2] - 1/√6 |  =  2·√6   

       ( Hier wird einfach für \(\vec{x}\) der Ortsvektor \(\vec{p}\) von P eingesetzt )

Lotgerade:  \(\vec{x}\)  = [5, -1, -2]  + r * [2,-1,-1]    ⊥ E

deren Schnittpunkt mit E ergibt den Lotfußpunkt.

Gruß Wolfgang