Question

Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge (b_n) mit b_n = (1 + 1/n)ⁿ⁺¹ streng monoton fallend ist.

Schließen Sie daraus, dass die Zahlenfolge (a_n), an = (1+1/n)ⁿ ,nach oben beschränkt ist. Hat (b_n) eine Grenzwert? Wenn ja, welchen?

Könnt ihr mir Bitte helfen, komme hier leider überhaupt nicht weiter?^^

Comments

Ich habe dieselbe Aufgabe und versuche mich daran.

Bislang kommt mir zur Monotonie nur der Gedanke, einen Induktionsbeweis zu führen, wo ich aber bei dem Induktionsschluss feststecke.
Ist hier noch jemand, der Ansätze zu dieser Frage von Maire97 geben kann?

Answer 1

$$b_n:=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$$Offensichtlich ist \(b_n\ne0\) für alle \(n\). Betrachte den Quotienten$$\frac{b_n}{b_{n+1}}=\frac{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+2}}=\frac{n+1}{n+2}\cdot\left(\frac{\ \ \frac{n+1}n\ \ }{\frac{n+2}{n+1}}\right)^{\!n+1}=\frac{n+1}{n+2}\cdot\left(1+\frac1{n^2+2n}\right)^{\!n+1}.$$Nach dem binomischen Lehrsatz gilt$$\frac{b_n}{b_{n+1}}\ge\frac{n+1}{n+2}\cdot\left(1+\frac{n+1}{n^2+2n}\right)=\frac{n^3+4n^2+4n+1}{n^3+4n^2+4n}>1.$$Die Folge ist streng monoton fallend.

MfG

Answer 2

(1+1/n)ⁿ⁺¹=(1+1/n)ⁿ·(1+1/n). Der erste Faktor fällt in Richtung e und der zweite in Richtung 1.

Comments

Die Konvergenz gegen e darf zur Lösung dieser Aufgabe nicht verwendet werden, weil das noch nicht gezeigt wurde.