Basis für einen Untervektorraum des F_2^5 über F_2

Question

Sei F₂ der Körper mit zwei Elementen, und sei W = <(1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 1, 0)> ⊆ F₂^5.

Bestimmen Sie eine Basis des Untervektorraum W.

Ich habe dazu entsprechend ein LGS aufgestellt und in Zeilenstufenform gebracht:

x₁x₂x₃x₄x₅
1 0 0 1 1
0 0 0 0 0
1 1 0 1 0
0 0 1 1 1
1 1 0 1 0

Zunächst habe ich die Zeilen 2 und 4 getauscht.

1 0 0 1 1
1 1 0 1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0
1 1 0 1 0

Die Addition der 2. Zeile zur 5. Zeile schafft eine 2. Nullzeile:

1 0 0 1 1
1 1 0 1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Die Addition der 1. zur 2. Zeile schafft die gewünschte Zeilenstufenform:

1 0 0 1 1
0 1 0 0 1
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Damit zeigt sich, dass W nur 3 Dimensionen hat. Ist damit einfach {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} eine Basis? Das wäre doch irgendwie zu einfach. ;) Ich bin für Eure Hilfe dankbar!

Answer 1

Damit zeigt sich, dass W nur 3 Dimensionen hat. Das ist richtig

Ist damit einfach {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} eine Basis?  Das ist falsch,

eine Basis besteht aus 3 lin. unabhängigen Elementen  von  W.

z.B den ersten dreien, in der Aufgabenstellung

 {(1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0) }

Die sind lin. unabh. Musst du vermutlich noch beweisen, in

der gleichen Art wie vorher mit den 5en.

Comments

Also fehlt nur noch Folgendes:

1 x_(1) + 0 x_(2) + 0 x_(3) = 0
0 x_(1) + 0 x_(2) + 0 x_(3) = 0
1 x_(1) + 1 x_(2) + 0 x_(3) = 0
0 x_(1) + 0 x_(2) + 1 x_(3) = 0
1 x_(1) + 1 x_(2) + 0 x_(3) = 0

Die Anwendung des Gauß-Algorithmus ergibt:

1 0 0 | 0
0 0 0 | 0
1 1 0 | 0
0 0 1 | 0
1 1 0 | 0

Addiere Zeile 3 zu Zeile 5.

1 0 0 | 0
0 0 0 | 0
1 1 0 | 0
0 0 1 | 0
0 0 0 | 0

Zeile 2 durch Tauschen nach unten schieben.

1 0 0 | 0
1 1 0 | 0
0 0 1 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0

Zeile 1 zu Zeile 2 addieren.

1 0 0 | 0
0 1 0 | 0
0 0 1 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0

Die Gleichungen des LGS gelten nur für die Triviallösung x₁, x₂, x₃ = 0. Damit sind die Vektoren {(1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0)} linear unabhängig und eine Basis von W.

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Na ist doch top !