Wohldefiniertheit und Gruppenhomomorphismus

Question

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe :

1. Seien k, n ∈ ∗ und k ein Teiler von n. Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung wohldefiniert ist und einen Gruppenhomomorphismus der Gruppen ( n,+) und ( k,+) darstellt.

   f : n → k [a]n → [a]k

   (Wir schreiben hier [a]n := {b ∈ : a ≡ b (mod n)} anstatt wie üblich a wegen der Eindeutigkeit)

   Wie beweise ich nun die Wohldefiniertheit und wie zeige ich dass das ein Gruppenhomomorphismus darstellt?

   Danke im Voraus

Answer 1

Hallo Grumbledore, k, n ∈ * ist falsch.  Korrekt ist k ∈ Z/kZ und n ∈ Z/nZ.  Machen wir ein Beispiel:  n = 4, k = 2.  Dann haben wir 2 Gruppen:
G₁ = ({[0]₄, [1]₄, [2]₄, [3]₄}, +)
Wie sieht G₂ aus?

Die Definition von Gruppenhomomorphismus lautet
f(g₁ + g₂) = f(g₁) + f(g₂) mit g₁, g₂ ∈ G₁
Zeige, dass das korrekt ist für g₁ = [1]₄ und g₂ = [3]₄.
Wenn du mehr Hilfe brauchst, sag einfach Bescheid.