Abgeschlossenheit eines bestimmten Körpers zweigen.

Question

Zeige, dass der bestimmte Körper

\( \mathbb{Q}[\sqrt{2}]:=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in \mathbb{Q}\} \)

ein Unterkörper von den reellen Zahlen ℝ ist.

Soweit bin ich auch gut damit zu recht gekommen nur komme ich jetzt nicht weiter wie ich zeige das der Unterköper für Addition, Multiplikation, und inversen Bildung abgeschlossen ist.

Answer 1

Als Beispiel mal die Addition. Seien \( x,y \in \mathbb{Q} \), dann gilt \( x = a+b\sqrt{2} \) und \( y = c+d\sqrt{2} \). Damit gilt

$$ x+y = (a+c)+(b+d)\sqrt{2} $$ und da \( a+c \text{ und } b+d  \in \mathbb{Q} \) ist auch \( x + y \in \mathbb{Q} \)

Genauso gehts bei der Multiplikation. Beim Inversen musst Du den Nenner nach dem 3-'ten binomischen Satz erweitern.