Schwingungsdauer eines Pendels

Question

folgende Aufgabe habe ich gerade vor mir:

Die Zeit, die ein Pendel für eine Schwingung braucht (einmal hin und zurück), hängt nur von seiner Länge ab und kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

T=2π·√l / g

T: Schwingungsdauer in Sekunden
l: Länge des Pendels in Meter
g= 9,81 m/s²: Erdbeschleunigung

(a) Berechnen Sie die Länge eines Pendels, das für eine Schwingung genau zwei Sekunden braucht)

b) Erklären Sie, warum eine Verdoppelung der Länge nicht die doppelte Schwingungsdauer ergibt.

Mir geht es hier eigentlich nur um b) --- Punkt a) habe ich bereits erfolgreich erledigt und nur der Vollständigkeit halber noch dazu geschrieben!

Answer 1

Hallo DramaQueen,

die Zeit für die Schwingungsdauer \(T\) berechnet sich aus

$$T= 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Die Werte für \(\pi\) und \(g\) sind konstant - man kann also auch sagen, dass

$$T \propto \sqrt{l}$$

ist. D.h. die Schwingungsdauer \(T\) ist proportional zur Wurzel der Länge des Pendels. Wenn sich also die Länge vervierfacht, so wird sich \(T\) nur verdoppeln. Oder wenn sich die Länge verdoppelt, so steigt die Schwingungsdauer um den Faktor \(\sqrt{2}\approx 1,414 \) also um gut \(41\%\).

Angenommen die Ausgangslänge sei \(l_0\) mit der Schwingungsdauer \(T_0\) und ein längeres Pendel habe die Länge \(l_1=2l_0\) mit Schwingungsdauer \(T_1\). Dann ist

$$\frac{T_1}{T_0} = \frac{\sqrt{l_1}}{\sqrt{l_0}}= \frac{\sqrt{2 \cdot l_0}}{\sqrt{l_0}} = \sqrt{2} \approx 1,414$$

Gruß Werner

Comments

Deine Ausführungen beantworten sicherlich die Frage  "Wieso ergibt die Formel eine doppelte Schwingungsdauer bei vierfacher Länge ?", aber keine "Erklärung" dafür.

Nun muss man meiner Meinung nach auch niemals erklären, warum etwas nicht so ist, sondern immer nur warum etwas so ist wie es ist.
Vielleicht hältst du die Frage "Erklären Sie, warum eine Verdoppelung der Länge nicht die 4,337-fache Schwingungsdauer ergibt." für genauso überflüssig wie ich die Frage "Erklären Sie, warum eine Verdoppelung der Länge nicht die doppelte Schwingungsdauer ergibt." halte.

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Hey hj2166,

Deine Kommentare sind wirklich toll! (nicht sarkastisch gemeint). Wir sollten uns mal in einem Forum für Philosophie treffen.

Es gibt sicher 'überflüssige Fragen', aber man sollte bedenken, dass hinter jeder dieser Fragen hier ein unvollkommener Mensch steht, der seine Frage manchmal nur unscharf ausdrücken kann. Damit schließe ich die Autoren von Schulbüchern ein.

Gruß Werner

PS.: bist Du Autist?

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Die Frage  "Warum funktioniert das Perpetuum Mobile nicht ?"
kann nicht mit "weil es dem Energiesatz widerspricht" (womöglich noch mit dem Hinweis auf eine entsprechende mathematische Formel) beantwortet werden.

Die Frage meint nämlich eigentlich : "Welchen Denkfehler mache ich, wenn ich glaube, dass das Perpetuum Mobile funktionieren könnte ?" und diese Frage kann nur mit einer Analyse des Denkverhaltens und (das erwartet der Fragesteller vermutlich) dann einer Diskussion der wirksamen Kräfte, Drehmomente, elektrischer Widerstände, Wirkungsgrade usw. beantwortet werden.

Im Falle der vorliegenden Frage wäre also zu ergründen  "Wie kommst du denn darauf, dass Länge und Schwingungsdauer proportional sein könnten ?", danach müsste sich eine ausführliche Erörterung der Begriffe Geschwindigkeit, Beschleunigung, der sie verursachenden Kräfte, der Kräfteaddition usw. anschließen um am Ende einer langen Diskussion den Denkfehler zu korrigieren.