Raute-Beispiel | Fortpflanzung

Question

Seite einer Raute ist gegeben -> 5cm. α schließt einen Winkel von 53° ein. Berechnen Sie f und e.

Ich habe es so gemacht -> Dreieck genommen, also α = 26,5°. γ ist ein rechter Winkel also hat β einen Winkel von 63,5°.
Die Seiten a und b kann ich mit dem Sinussatz berechnen. a=(c*sin(26,5))/sin(90)=2,23. b=(c*sin(63,5))/sin(90)=4,47.
f ist also 4,47 und e ist 2,23. Ich habe leider keine Lösungen parat und bin mir nicht sicher, ob ich das auch richtig ausgerechnet habe. Wäre jemand bitte so lieb und könnte mir sagen ob das stimmt?

Die nächste Aufgabe schreibe ich gleich rein, weil es zum selben Bsp gehört. 
Untersuchen Sie die Fortpflanzung von Messfehlern. Nehmen Sie an 4,9≤Seitenlänge≤5,1 
52°≤Winkel 54°
Im welchen Bereich liegt f.

Um ehrlich zu sein weiß ich hier nicht einmal, was ich machen soll. Könnte mir das bitte jemand erklären?

Answer 1

Du schriebst: "habe leider keine Lösungen parat und bin mir nicht sicher, ob ich das auch richtig ausgerechnet habe." Dann mache eine Zeichnung und messe nach. Tipp: mindestens eine der Diagonalen muss länger als \(a\) sein:

Das Dreieck \(ABM\) ist ein rechtwinkliges und Du kannst direkt mit Sinus und Kosinus \(e\) und \(f\) berechnen. Es ist

$$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{ \frac{e}{2} }{a} \quad \Rightarrow e = 2a\cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \approx 8,95\text{cm}$$

$$\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{ \frac{f}{2} }{a} \quad \Rightarrow f = 2a\cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \approx 4,46 \text{cm}$$

Zu der Fehlerfortpflanzung: \(a \in [4,9\space .. \space 5,1]\) und \(\alpha = [52° \space .. \space 54°]\). Wenn man sich die Gleichung für \(e\) anschaut, dann wir \(e\) kleiner, wenn \(a\) kleiner wird und \(e\) wird kleiner, wenn \(\alpha\) größer wird, da die Kosinusfunktion in diesem Wertebereich eine negative Steigung hat. Also setze für das kleinste \(e\) das kleinste \(a\) und das größte \(\alpha\) und umgekehrt:
$$e \in [2 \cdot 4,9\text{cm} \cos \left( 54°/2\right) \space.. \space 2 \cdot 5,1\text{cm} \cos \left( 52°/2\right) ]=[8,73\text{cm} \space .. \space 9,17 \text{cm} ]$$Für das \(f\) setzt Du die beiden kleinsten Werte für das kleinste \(f\) ein. Die Sinusfunktion hat hier eine positive Steigung
$$f \in [4,30 \text{cm} \space .. \space 4,63\text{cm}]$$

Comments

Tut mir leid, ich verstehe das Beispiel mit der Fortpflanzung überhaupt nicht. e wird kleiner wenn sowohl α kleiner als auch größer wird? Negative Steigung? Ich komm da nicht mit.

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Die Formel für \(e\) lautet:

$$e=2a\cdot \cos \left( \frac{\alpha}{2}\right)$$

Es ist \(\cos \left( \frac{53°}{2}\right) \approx 0,895\). Vergrößert man nun den Wert von \(\alpha\) auf \(54°\) so ist \(\cos \left( \frac{54°}{2}\right) \approx 0,891\) - dieser Wert ist um \(0,04\) kleiner als der Wert für \(53°\). Und dies liegt daran, dass die Steigung der Kosinusfunktion an der Stelle \(53°/2=26,5°\) kleiner 0 ist. Denn

$$\frac{\partial \cos x}{\partial x} = - \sin x$$

D.h. wenn sich der Winkel um \(0,5°\) vergrößert - von \(53°/2=26,5°\) nach \(54°/2=27°\), so verändert sich der Kosinus etwa um \(- \sin (26,5°) \cdot 0,5°\approx - \sin (26,5°) \cdot 8,73 \cdot 10^{-3} \text{rad} \approx -0,0039\). Das Ergebnis wird kleiner.

Es muss kleiner werden, da die Steigung (\(- \sin (26,5°)\)) negativ ist und die Änderung des Winkels positiv (\(+0,5°\)) und das Produkt von beiden (\(- \sin (26,5°) \cdot 0,5°\)) ist wieder negativ.

Folglich ist für die Berechnung des kleinsten Wertes von \(e\) der größte Winkel zu verwenden.

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"Wenn man sich die Gleichung für e anschaut, dann wird e kleiner, wenn Alpha kleiner wird und e wird kleiner, wenn Alpha größer wird."

Wird aber e nicht größer, wenn Alpha kleiner wird?
cos(52/2)=0,8987

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Du hast das falsch zitiert. Oben steht: "Wenn man sich die Gleichung für e anschaut, dann wird e kleiner, wenn a kleiner wird und e wird kleiner, wenn Alpha größer wird."

Das erste 'Alpha' ist ein a.

Gruß Werner

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Mein Fehler. Bei genauen Betrachten fiel mir erst auf, dass es sich um ein a handelt. Jetzt kenn' ich mich aus, dankeschön.

Answer 2

Du hast sehr umständlich gerechnet. Es genügt die Anwendung der Definitionen von sin und von cos.

e und f sind offensichtlich die Diagonalen in der Raute. Die Diagonalenlänge 4,461978 ist ungenau,.die andere Diagonalenlänge ist 8,94934.

MESSFEHLER GIBT ES HIER KEINE; NUR RUNDUNGSFEHLER. Es wurde gerechnet und nicht gemessen..

Comments

"MESSFEHLER GIBT ES HIER KEINE; NUR RUNDUNGSFEHLER. Es wurde gerechnet und nicht gemessen.. " siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Intervallarithmetik.

\(a=[4,9\text{cm}\space..5,1\text{cm}]\) und \(\alpha=[52° .. 54°]\); berechne \(e\) und \(f\).

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"Du hast sehr umständlich gerechnet. Es genügt die Anwendung der Definitionen von sin und von cos."

Wie hätte ich es anders berechnen können?

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Siehe Antwort von Werner Salomon mit a=5.