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Seite einer Raute ist gegeben -> 5cm. α schließt einen Winkel von 53° ein. Berechnen Sie f und e.

Ich habe es so gemacht -> Dreieck genommen, also 
α = 26,5°. γ ist ein rechter Winkel also hat β einen Winkel von 63,5°.
Die Seiten a und b kann ich mit dem Sinussatz berechnen. a=(c*sin(26,5))/sin(90)=2,23. b=(c*sin(63,5))/sin(90)=4,47.
f ist also 4,47 und e ist 2,23. Ich habe leider keine Lösungen parat und bin mir nicht sicher, ob ich das auch richtig ausgerechnet habe. Wäre jemand bitte so lieb und könnte mir sagen ob das stimmt?

Die nächste Aufgabe schreibe ich gleich rein, weil es zum selben Bsp gehört. 
Untersuchen Sie die Fortpflanzung von Messfehlern. Nehmen Sie an 4,9
Seitenlänge≤5,1 
52°
≤Winkel 54°
Im welchen Bereich liegt f.

Um ehrlich zu sein weiß ich hier nicht einmal, was ich machen soll. Könnte mir das bitte jemand erklären?


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Du schriebst: "habe leider keine Lösungen parat und bin mir nicht sicher, ob ich das auch richtig ausgerechnet habe." Dann mache eine Zeichnung und messe nach. Tipp: mindestens eine der Diagonalen muss länger als aa sein:

Bild Mathematik

Das Dreieck ABMABM ist ein rechtwinkliges und Du kannst direkt mit Sinus und Kosinus ee und ff berechnen. Es ist

cos(α2)=e2ae=2acos(α2)8,95cm\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{ \frac{e}{2} }{a} \quad \Rightarrow e = 2a\cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \approx 8,95\text{cm}

sin(α2)=f2af=2asin(α2)4,46cm\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{ \frac{f}{2} }{a} \quad \Rightarrow f = 2a\cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \approx 4,46 \text{cm}

Zu der Fehlerfortpflanzung: a[4,9 .. 5,1]a \in [4,9\space .. \space 5,1] und α=[52° .. 54°]\alpha = [52° \space .. \space 54°]. Wenn man sich die Gleichung für ee anschaut, dann wir ee kleiner, wenn aa kleiner wird und ee wird kleiner, wenn α\alpha größer wird, da die Kosinusfunktion in diesem Wertebereich eine negative Steigung hat. Also setze für das kleinste ee das kleinste aa und das größte α\alpha und umgekehrt:
e[24,9cmcos(54°/2) .. 25,1cmcos(52°/2)]=[8,73cm .. 9,17cm]e \in [2 \cdot 4,9\text{cm} \cos \left( 54°/2\right) \space.. \space 2 \cdot 5,1\text{cm} \cos \left( 52°/2\right) ]=[8,73\text{cm} \space .. \space 9,17 \text{cm} ]Für das ff setzt Du die beiden kleinsten Werte für das kleinste ff ein. Die Sinusfunktion hat hier eine positive Steigung
f[4,30cm .. 4,63cm]f \in [4,30 \text{cm} \space .. \space 4,63\text{cm}]

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Tut mir leid, ich verstehe das Beispiel mit der Fortpflanzung überhaupt nicht. e wird kleiner wenn sowohl α kleiner als auch größer wird? Negative Steigung? Ich komm da nicht mit.




Die Formel für ee lautet:

e=2acos(α2)e=2a\cdot \cos \left( \frac{\alpha}{2}\right)

Es ist cos(53°2)0,895\cos \left( \frac{53°}{2}\right) \approx 0,895. Vergrößert man nun den Wert von α\alpha auf 54°54° so ist cos(54°2)0,891\cos \left( \frac{54°}{2}\right) \approx 0,891 - dieser Wert ist um 0,040,04 kleiner als der Wert für 53°53°. Und dies liegt daran, dass die Steigung der Kosinusfunktion an der Stelle 53°/2=26,5°53°/2=26,5° kleiner 0 ist. Denn

cosxx=sinx\frac{\partial \cos x}{\partial x} = - \sin x

D.h. wenn sich der Winkel um 0,5°0,5° vergrößert - von 53°/2=26,5°53°/2=26,5° nach 54°/2=27°54°/2=27°, so verändert sich der Kosinus etwa um sin(26,5°)0,5°sin(26,5°)8,73103rad0,0039- \sin (26,5°) \cdot 0,5°\approx - \sin (26,5°) \cdot 8,73 \cdot 10^{-3} \text{rad} \approx -0,0039. Das Ergebnis wird kleiner.

Es muss kleiner werden, da die Steigung (sin(26,5°)- \sin (26,5°)) negativ ist und die Änderung des Winkels positiv (+0,5°+0,5°) und das Produkt von beiden (sin(26,5°)0,5°- \sin (26,5°) \cdot 0,5°) ist wieder negativ.

Folglich ist für die Berechnung des kleinsten Wertes von ee der größte Winkel zu verwenden.

"Wenn man sich die Gleichung für e anschaut, dann wird e kleiner, wenn Alpha kleiner wird und e wird kleiner, wenn Alpha größer wird."

Wird aber e nicht größer, wenn Alpha kleiner wird?
cos(52/2)=0,8987

Du hast das falsch zitiert. Oben steht: "Wenn man sich die Gleichung für e anschaut, dann wird e kleiner, wenn a kleiner wird und e wird kleiner, wenn Alpha größer wird."

Das erste 'Alpha' ist ein a.

Gruß Werner

Mein Fehler. Bei genauen Betrachten fiel mir erst auf, dass es sich um ein a handelt. Jetzt kenn' ich mich aus, dankeschön.

+1 Daumen

Du hast sehr umständlich gerechnet. Es genügt die Anwendung der Definitionen von sin und von cos.

e und f sind offensichtlich die Diagonalen in der Raute. Die Diagonalenlänge 4,461978 ist ungenau,.die andere Diagonalenlänge ist 8,94934.

MESSFEHLER GIBT ES HIER KEINE; NUR RUNDUNGSFEHLER. Es wurde gerechnet und nicht gemessen..

Avatar von 124 k 🚀

"MESSFEHLER GIBT ES HIER KEINE; NUR RUNDUNGSFEHLER. Es wurde gerechnet und nicht gemessen.. " siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Intervallarithmetik.

a=[4,9cm ..5,1cm]a=[4,9\text{cm}\space..5,1\text{cm}] und α=[52°..54°]\alpha=[52° .. 54°]; berechne ee und ff.

"Du hast sehr umständlich gerechnet. Es genügt die Anwendung der Definitionen von sin und von cos."

Wie hätte ich es anders berechnen können?

Siehe Antwort von Werner Salomon mit a=5.

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