Man zeige E:=(z e C: |z| = 1 ) ist eine Untergruppe von C*

Question

Für z=(a,b) = a+bi=a+ib Element C sei |z|:= Wurzel aus (a²+b²) Man zeige E:=(z e C: |z|= 1) ist eine Untergruppe von C* (mit der Multiplikation als Verknüpfungsoperation)

Irgendwie fehlt mir hier der Ansatz. Hoffe jemand kann mir dabei helfen.

EDIT: "=1" ergänzt.

Comments

E:=(z e C: |z|)

Was soll das sein?

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Meinst du vielleicht

E:= { z e C: |z| = 1    }   ??????????

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Ja das meinte ich. Sorry für den Tippfehler.

Answer 1

Dann prüfe doch einfach die Untergruppenkriterien:

E abgeschlossen ?   Nimm zwei  Elemente von E

etwa a+bi=z1   und  c+di=z2

dann ist  z1*z2 = ( a+bi)*(c+di)

                        = ac + adi + bci - bd

                        = ac-bd  + (ad +bc)*i

und | z1*z2 | = (ac-bd) ²  + (ad +bc)²

und nun prüfe, ob das = 1 ist, wenn |z1|=1 und |z2| = 1 bekannt ist.

Du wirst sehen: Es stimmt.

Ebenso: neutrales El. in E und zu jedem z aus E

auch das Inverse in E.

Dann ist es fertig.

Comments

Okay. .Danke.

Was ist mit abgeschlossen gemeint? Ist damit gemeint, dass wenn ich zwei Elemente habe z.B. a,b Element U so ist auch a*b Element U?

Und bei dem neutralem Element muss ich zeigen, dass das neutrale Element der Untergruppe dasselbe ist wie in der Gruppe?

Und bei der Inverse reicht es dann, wenn ich zeige a ist Element E, so ist a^-1 auch Element E?

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Genau so ist es.  Kleiner Tipp zum Inversen von a+bi

= 1 / ( a+bi)   erweitere mit ( a -bi ) , dann bekommst du es hin.

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Okay. Ich habe jetzt noch eine Frage zu dem Inversen wie ich das richtig aufschreibe.

z=a+bi und z^-1=((a^2+b^2)((a^2+b^2)),0). Aber wie kann ich das jetzt auch das Beispiel anwenden, wenn |z|=1?

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Meine für z^-1=((a/(a^2+b^2), -b/(a^2+b^2))