Basis der Untergruppe bestimmen

Question

Ich bräuchte eure Hilfe:

Ich soll ℤ-Basis der Untergruppe H ⊂ Z² bestimmen mit H := {(x₁, x₂) ∈ ℤ² | x₁ + 2x₂ ∈ 3ℤ} ⊆ ℤ².

Ich weiß, dass man bei Vektoren die Vektoren zu einer Matrix aufschreibt, diese mit Gauß löst und die Zeilen, die keine Nullzeile sind die Vektoren für die Basis der Untergruppe ist.

Wie sieht es aber in diesem Beispiel aus?

Ich würde mich sehr über einen Vorschlag freuen!

Answer 1

Hi, sieht so aus als besuchen wir die gleiche Vorlesung :)

In der Aufgabe kannst du dir anhand der Definition von H zwei linear unabhängige Vektoren überlegen, die beide in H liegen, diese sollten dann eine Basis bilden. Man kann z.B. leicht erkennen, dass (1,1) und (3,0) in H liegen, offensichtlich sind sie auch linear unabhängig. Um zu zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem von H bilden, kann man so vorgehen:

Sei (x₁,x₂)∈H. Es folgt x₁+x₂=3k für ein k∈ℤ. Das ist äquivalent zu x₁ = 3k-2x₂.

Jetzt gilt

x_2*(1,1) + (k-x₂) * (3,0) = (x₂+3k-3x₂,x₂) = (3k-2x₂,x₂) = (x₁,x₂)

Also lässt sich (x1,x2) als ganzzahlige Linearkoordination der Vektoren (1,1) und (3,0) darstellen.

Welche Basis hast du denn bei der 2a) genommen? Irgendwie komme ich hier nicht weiter, bzw. mich verwirrt, dass in dem Spann 3 Vektoren sind.

Comments

Danke für die Antwort!:)

Also ich habe die drei Vektoren untereinander als Matrix aufgeschrieben, mit Gauß gelöst und die Nicht-Nullzeilen als Basis angegeben: Habe somit (1, 7/5)^t und (0, 1) ^t .

Keine Ahnung aber obs stimmt:D