ich gehe mal davon aus, dass Du den Potenzreihenansatz grob verstanden hast und weißt, dass man dabei einen Koeffizientenvergleich durchführt. Man geht davon aus, dass die Lösung der Differenzialgleichung ein Polynom - bzw. eine Potenzreihe ist - also:
$$y= \textcolor{#F22}{a_0} + \textcolor{#22F}{a_1}x + a_2x^2 + a_3x^3 + ... \textcolor{red}{\frac{1}{2}} $$
Mit noch unbekannten Koeffizienten \(a_i\). Aus der Bedingung \(y(0)=2\) folgt bereits, dass \(a_0=2\) ist. Die erste und zweite Ableitung treten in der DGL auf, also muss man sie bestimmen
$$y'= \textcolor{#F22}{a_1} + \textcolor{#22F}{2a_2}x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3+ ...$$
Hier folgt aus \(y'(0)=3\), dass \(a_1=3\) ist. Und die zweite Ableitung ist:
$$y''= \textcolor{#F22}{2a_2} + \textcolor{#22F}{6a_3}x + 12a_4x^2+ 20a_5 x^3+ ...$$
Angenommen man setzt die drei Gleichungen für \(y\), \(y'\) und \(y''\) in die DGL
$$y'' + 12y' - 18y = 4 - 18x^3$$
ein. Dann muss diese Gleichung für jedes beliebige \(x\) erfüllt sein. Daraus folgt, dass für ein konkretes \(x^i\) die Summe der zugehörigen Koeffizienten =0 bzw. gleich dem entsprechenden Koeffizienten der rechten Seite sein muss. Ich betrachte zunächst nur Koeffizienten ohne \(x\) bzw. mit \(x^0\):
$$\textcolor{#F22}{2a_2} + 12 \cdot \textcolor{#F22}{a_1} - 18 \cdot \textcolor{#F22}{a_0} = 4$$
Den ersten markieren Wert habe ich aus der Gleichung für \(y''\) entnommen, Dort ist \(2a_2\) der einzige Summand der ein Produkt von \(x^0=1\) ist. Das \(a_1\) kommt aus der Gleichung für \(y'\) und das \(a_0\) aus der Gleichung für \(y\). Nach Einsetzen von \(a_0=2\) und \(a_1=3\) folgt
$$2a_2 + 12 \cdot 3 - 18 \cdot 2 = 4 \quad \Rightarrow a_2=\frac12(4-36+36)=2$$
Im nächsten Schritt betrachte ich alle Koeffizienten mit \(x^1=x\). Die entnommenen Koeffizienten habe ich farblich markiert (s.o.).
$$\textcolor{#22F}{6a_3} + 12\cdot \textcolor{#22F}{2a_2} - 18 \textcolor{#22F}{a_1} = 0 $$
Wieder Einsetzen der bekannten Größen \(a_1=3\) und \(a_2=2\)
$$6a_3 + 12\cdot 2 \cdot 2 - 18 \cdot 3 = 0 \quad \Rightarrow a_3= \frac16(-48+54)=1$$
Im dritten Schritt werden die Koeffizienten mit \(x^2\) betrachtet
$$ 12a_4 +12 \cdot 3a_3- 18 \cdot a_2 = 0$$
$$ 12a_4 +12 \cdot 3- 18 \cdot 2 = 0 \quad a_4=\frac{1}{12}(-36 +36) = 0$$
Nochmal mit \(x^3\):
$$ 20a_5+12 \cdot 4a_4 - 18 \cdot a_3 = -18$$
hier kommt jetzt auch der Koeffizient von \(-18x^3\) zum tragen.
$$ 20a_5+12 \cdot 4\cdot 0 - 18 \cdot 1 = -18 \quad \Rightarrow a_5=\frac{1}{20}( 0 -18 + 18) = 0$$
Den finalen Schritt zu \(a_6\) überlasse ich Dir. Du wirst sehen, das \(a_6\) und alle folgenden Koeffizienten =0 sind. Die Lösung der DGL mit Anfangsbedingung lautet also
$$y(x)= x^3 + 2x^2 + 3x +2$$
Mache die Probe!
