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liebe Community ,dies ist meine erste Frage hier, studiere Physik im ersten Semester:)

Komme mit folgender Aufgabe nicht klar un bin  für jede Hilfe dankbar. Habe noch nicht einmal einen Ansatz :/

Für  einen Parameter s > 0 betrachten wir die Funktion f(x) = |x|^s , x ∈ R. 

Für welche Werte von  s > 0 existiert die Ableitung f '(0), 

für welche Werte von s > 0 existieren die rechts- und linksseitigen Ableitungen f '+(0) und f ' −(0)?

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Hi,

die Ableitung von \( f(x) = |x|^s = e^{s \ln(|x|)} \) ist
$$ f'(x) = \begin{cases}  \ \ \ s |x|^{s-1} & \text{wenn } x \ge 0 \\ -s |x|^{s-1} & \text{wenn } x < 0\end{cases} $$
Jetzt kann man die Fälle
$$ (a) \quad s > 1 \\     (b) \quad s = 1 \\     (c) \quad s < 1 $$ unterscheiden.
Im Fall (a) gilt \( \lim_{x\to 0^+} = \lim_{x\to 0^-} = 0 \)
Im Fall (b) gilt \( \lim_{x\to 0^+} = 1 \text{ und } \lim_{x\to 0^-} = -1 \)
Im Fall (c) gilt \( \lim_{x\to 0^+} = +\infty \text{ und } \lim_{x\to 0^-} = -\infty \)
Die Ableitung existiert, wenn rechtseitiger und linksseitige Limes gleich sind, also für \( s > 1 \)
Für \( s \le 1 \) existiert die Ableitung nicht.
Im Fall (b) existieren rechtseitiger und linksseitige Limes, sind aber ungleich.




Avatar von 39 k

Die Ableitung existiert, wenn rechtseitiger und linksseitige Limes gleich sind

Die hier zusätzlich benutzte Eigenschaft von f sollte ja wohl zumindest erwähnt werden.

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