Ableitungen, Mathe für Physiker 1

Question

liebe Community ,dies ist meine erste Frage hier, studiere Physik im ersten Semester:)

Komme mit folgender Aufgabe nicht klar un bin  für jede Hilfe dankbar. Habe noch nicht einmal einen Ansatz :/

Für  einen Parameter s > 0 betrachten wir die Funktion f(x) = |x|^s , x ∈ R.

Für welche Werte von  s > 0 existiert die Ableitung f '(0),

für welche Werte von s > 0 existieren die rechts- und linksseitigen Ableitungen f '+(0) und f ' −(0)?

Answer 1

Hi,

die Ableitung von \( f(x) = |x|^s = e^{s \ln(|x|)} \) ist
$$ f'(x) = \begin{cases}  \ \ \ s |x|^{s-1} & \text{wenn } x \ge 0 \\ -s |x|^{s-1} & \text{wenn } x < 0\end{cases} $$
Jetzt kann man die Fälle
$$ (a) \quad s > 1 \\     (b) \quad s = 1 \\     (c) \quad s < 1 $$ unterscheiden.
Im Fall (a) gilt \( \lim_{x\to 0^+} = \lim_{x\to 0^-} = 0 \)
Im Fall (b) gilt \( \lim_{x\to 0^+} = 1 \text{ und } \lim_{x\to 0^-} = -1 \)
Im Fall (c) gilt \( \lim_{x\to 0^+} = +\infty \text{ und } \lim_{x\to 0^-} = -\infty \)
Die Ableitung existiert, wenn rechtseitiger und linksseitige Limes gleich sind, also für \( s > 1 \)
Für \( s \le 1 \) existiert die Ableitung nicht.
Im Fall (b) existieren rechtseitiger und linksseitige Limes, sind aber ungleich.

Comments

Die Ableitung existiert, wenn rechtseitiger und linksseitige Limes gleich sind

Die hier zusätzlich benutzte Eigenschaft von f sollte ja wohl zumindest erwähnt werden.