Kleine Warnung vorweg. Das ist eklige Rechenarbeit. Im Grunde musst du nur einen Koeffizientenvergleich durchführen. Du hast zunächst:
\(y(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k=a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3+...\)
\(y(x)^2=\Bigg(\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k \Bigg)\cdot \Bigg(\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k \Bigg)\\=(a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+...)\cdot (a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+...)\\=a_0^2+2\cdot a_0\cdot a_1\cdot x+(2\cdot a_0\cdot a_2+a_1^2)\cdot x^2+...\)
\(y'(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty k\cdot a_k\cdot x^{k-1}\stackrel{Indexverschiebung}{=}\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)\cdot a_{k+1}\cdot x^k\\=a_1+2\cdot a_2\cdot x+3\cdot a_3\cdot x^2+...\)
Jetzt muss man nur noch alles in die DGL einsetzen und die Koeffizienten \(a_k\) berechnen:
\(a_1+2\cdot a_2\cdot x+3\cdot a_3\cdot x^2+...\\=y'(x)=(4x-2)\cdot y(x)^2\\=(4x-2)\cdot (a_0^2+2\cdot a_0\cdot a_1\cdot x+(2\cdot a_0\cdot a_2+a_1^2)\cdot x^2+...)\\=(-2\cdot a_0^2-4\cdot a_0\cdot a_1\cdot x-2\cdot (2\cdot a_0\cdot a_2+a_1^2)\cdot x^2+...)+(4\cdot a_0^2\cdot x+8\cdot a_0\cdot a_1\cdot x^2+4\cdot (2\cdot a_0\cdot a_2+a_1^2)\cdot x^3+...)\)
Koeffizientenvergleich:
Für Potenz \(x^0=1\): \(a_1=-2\cdot a_0^2=-8, \) da \(-2=y(0)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot 0^k=a_0+a_1\cdot 0+a_2\cdot 0^2+a_3\cdot 0^3+...=a_0\)
Für Potenz \(x^1=x\): \(2\cdot a_2=-4\cdot a_0\cdot a_1+4\cdot a_0^2=-48 \Leftrightarrow a_2=-24\)
Um sicher zu gehen, führe doch mal die Rechnung selber durch und vergleiche dann mal.
