Bestimmen Sie die Ebene, die senkrecht zur Geraden g durch den Punkt P verlauft.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind der Punkt \( P(3|1| 3) \) und die Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2 \\ -9 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}6 \\ 3 \\ -4\end{array}\right), t \in \mathbb{R} \)

Bestimmen Sie die Ebene, die senkrecht zur Geraden \( g \) durch den Punkt \( P \) verläuft. Geben Sie die Gleichung in Koordinatenform an und verwenden Sie als Variable \( x, y, z \) (Kleinbuchstaben!).

Kann man mir erklären mit einem Rechenweg und Lösung wenn möglich.

In Koordinatenform

Answer 1

Aloha :)

Der Richtungsvektor der Geraden \(g\) steht senkrecht auf der Ebene \(E\). Das heißt, der Richtungsvektor der Geraden ist ein Normalenvektor der Ebene. Die Ebene hat daher die Form:$$E:\,\begin{pmatrix}6\\3\\-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=d$$Die Ebene soll den Punkt \(P(3|1|3)\) enthalten, also muss die Ebenengleichung für diesen Punkt erfüllt sein. Daraus können wir das \(d\) von oben bestimmen:$$d=\begin{pmatrix}6\\3\\-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\3\end{pmatrix}=18+3-12=9$$Damit können wir die Ebenengleichung in Koordinatenform angeben:$$E:\,6x+3y-4z=9$$

Comments

Eine Frage, in der Lösung steht als Koordinatenform so da

(-4*z)+3*y+6*x-9 = 0

Wieso ist da eine negative 9

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Wenn du auf beiden Seiten der Ebenengleichung 9 subtrahierst, siehst du, dass beide Gleichungen identisch sind:$$\left.6x+3y-4z=9\quad\right|\quad-9$$$$\left.6x+3y-4z-9=0\quad\right.$$Ich wollte das Ergebnis mit so wenigen Zeichen wie möglich schreiben ;)