Aloha :)
Die Ableitung funktioniert mit der Produktregel wie folgt:$$f'(x)=\left[\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}\right]'=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}}_{=v'}=\ln x+1$$Bei einem relativen Extremum muss die erste Ableitung veschwinden:$$\left.1+\ln x\stackrel{!}{=}0\quad\right|\quad-1$$$$\left.\ln x=-1\quad\right|\quad e^\cdots$$$$\left.x=e^{-1}=\frac{1}{e}\quad\right.$$Wir haben also einen Kandidaten für ein Extremum bei \(x=\frac{1}{e}\) gefunden. Zur Prüfung, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, benötigen wir die zweite Ableitung:$$f''(x)=\left[\ln x+1\right]'=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad f''\left(\frac{1}{e}\right)=e>0\quad\Rightarrow\quad\text{Minimum}$$Wegen \(f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}\) hat die Funktion ein Minimum bei \(\left(\frac{1}{e}\,;\,-\frac{1}{e}\right)\).
~plot~ x*ln(x) ; {1/e|-1/e} ; [[0|2|-0,5|2]] ~plot~