Lemniskate Berechnen sie die Ableitung von g(√2)

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Lemniskate

f(x,y) := x² (8-x²) - y²/6 = 0

Nach dem Satz über implizite Funktionen lässt sich die Lemniskate an der Stelle (x,y) = (√2, 6√2) lokal als stetig differenzierbare Funktion g: U → V mit g(√2)=6√2 beschreiben, wobei U eine offene Umgebung von x = √2 ist und V eine offene Umgebung von y = 6√2

Berechnen sie die Ableitung von g'(√2)

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Problem/Ansatz:

Ich komme leider nicht auf die Lösung kann mir jemand behilflich sein?

Answer 1

Hallo,

die Ableitung der ersten Funktion schenkt dir doch ebenfalls der Satz über implizite Funktionen. Du hast eine Auflösungsfunktion \(g: U\to V , x\mapsto y\), die lokal die Nullstellenmenge beschreibt, d. h. es gilt \(f(x,g(x))=0\) für alle \(x\in U(\sqrt{2})\). Leite das mit der Kettenregel ab und du hast nach umstellen:$$0=\nabla f(g(x))^Tg'(x) \implies g'(x)=-\frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}$$ und damit $$g'(\sqrt{2})=-\frac{F_x(\sqrt{2},g(\sqrt{2}))}{F_y(\sqrt{2},g(\sqrt{2}))}=-\frac{F_x(\sqrt{2},6\sqrt{2})}{F_y(\sqrt{2},6\sqrt{2})}=...$$