Aloha :)
Da die implizite Funktion \(F(x;y)\) gleich \(0\) ist, gilt dies auch für deren Differential:$$F(x;y)=x^3-3xy+y^3-1\stackrel!=0\quad\implies$$$$0=dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(3x^2-3y)dx+(-3x+3y^2)dy\quad\implies$$$$(3x-3y^2)dy=(3x^2-3y)dx\quad\implies$$$$y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2-3y}{3x-3y^2}=\frac{x^2-y}{x-y^2}$$Das entspricht deinem Ergebnis (mit (-1) erweitert).
Für die zweite Ableitung bemühen wir die Quotientenregel:
$$y''(x)=\frac{(2x-y')(x-y^2)-(x^2-y)(1-2yy')}{(x-y^2)^2}=\frac{2x-y'}{x-y^2}-\frac{(x^2-y)(1-2yy')}{(x-y^2)^2}$$$$\phantom{y''(x)}=\frac{2x}{x-y^2}-\frac{y'}{x-y^2}-\frac{x^2-y}{(x-y^2)^2}+\frac{x^2-y}{(x-y^2)^2}2yy'$$$$\phantom{y''(x)}=\frac{2x}{x-y^2}-\frac{\frac{x^2-y}{x-y^2}}{x-y^2}-\frac{x^2-y}{(x-y^2)^2}+\frac{x^2-y}{(x-y^2)^2}2y\,\frac{x^2-y}{x-y^2}$$$$\phantom{y''(x)}=\frac{2x}{x-y^2}-\frac{x^2-y}{(x-y^2)^2}-\frac{x^2-y}{(x-y^2)^2}+\frac{2y(x^2-y)^2}{(x-y^2)^3}$$$$\phantom{y''(x)}=\frac{2x}{x-y^2}-\frac{2(x^2-y)}{(x-y^2)^2}+\frac{2y(x^2-y)^2}{(x-y^2)^3}$$
