Ableitung impliziter Funktionen

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Berechnen Sie für } x^{2} y+y^{3}=2} \\ {\bullet \text { die erste Ableitung } y^{\prime} \text { und deren Wert im Punkt }(1,1) \text { sowie }} \\ {\bullet \text { die zweite Ableitung } y^{\prime \prime} \text { und deren Wert im Punkt }(1,1) \text { . }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Für die erste Ableitung habe ich alle Terme auf die linke Seite genommen, dann einmal die Ableitung nach x und einmal die Ableitung nach y ausgerechnet. Am Ende kam ich mit der Formel y'=-ablX/ablY auf -2xy/(x²+3y²) was laut WolframAlpha korrekt ist. (https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+x%C2%B2y%2By%C2%B3-2%3D0)

Muss ich für den Wert im Punkt 1,1 dann einfach einsetzen? Ich käme auf -1/2.

Wo ich mir am meisten unsicher bin, ist Punkt 2. Muss ich jetzt einfach so vorgehen wie davor? Wieder einmal nach x und y ableiten und dann in die Formel einsetzen? Würde mich über einen Tipp freuen.

MfG

Answer 1

Aloha :)

Betrachte die Funktion \(f(x,y)=x^2y+y^3-2\equiv0\). Sie ist für alle Punkte \((x,y)\) identisch gleich \(0\). Daher ist auch ihr totales Differential stets identisch gleich \(0\):

$$0=df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy=2xy\,dx+(x^2+3y^2)\,dy$$"Division" durch \(dx\) liefert:$$0=2xy+(x^2+3y^2)\,\frac{dy}{dx}=2xy+(x^2+3y^2)\,y'(x)$$$$y'(x)=-\frac{2xy}{x^2+3y^2}$$Für den Punkt \((1;1)\) haben wir daher: \(y'(1)=-\frac{1}{2}\).

Jetzt, da wir einen expliziten Ausdruck für \(y'(x)\) haben, können wir wie gewohnt ableiten:

$$y''(x)=-\frac{(2y+2xy')(x^2+3y^2)-2xy(2x+6yy')}{(x^2+3y^2)^2}$$Darin kannst du den oben gefundenen Term für \(y'(x)\) einsetzen. Das Aufschreiben der Rechnung spare ich mir hier und gebe nur das Ergebnis an:

$$y''(x)=\frac{6 y (x^2 - 3 y^2) (x^2 + y^2)}{(x^2 + 3 y^2)^3}$$Konkret an der Stelle \(1;1\) gilt: \(y''(1)=-\frac{3}{8}\).

Comments

Vielen Dank, das hilft mir sehr weiter!

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Sorry für die nachträgliche Änderung der Antwort. Aber ich hatte mich bei der Rechnung fürchterlich vertan und den Fehler dann erst später bemerkt. Habe gerade alles korrigiert und hoffe, dass R3fleXi0n die Korrektur noch mitkriegt.

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Habe es noch rechtzeitig gesehen, danke!

Answer 2

Das ist bei Wikipedia sehr schön Beschrieben.

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

Hier die Formeln inkl. der Rechnung mit deinen Werten.

F(x, y) = x^2·y + y^3 - 2

y' = - Fx(x, y) / Fy(x, y) = - (2·x·y) / (x^2 + 3·y^2)

y' = - Fx(1, 1) / Fy(1, 1) = - (2·1·1) / (1^2 + 3·1^2) = - 0.5

y'' = - (Fxx·Fy^2 + Fyy·Fx^2 - 2·Fxy·Fx·Fy) / Fy^3

y'' = - ((2·y)·(x^2 + 3·y^2)^2 + (6·y)·(2·x·y)^2 - 2·(2·x)·(2·x·y)·(x^2 + 3·y^2)) / (x^2 + 3·y^2)^3

y'' = - ((2·1)·(1^2 + 3·1^2)^2 + (6·1)·(2·1·1)^2 - 2·(2·1)·(2·1·1)·(1^2 + 3·1^2)) / (1^2 + 3·1^2)^3 = - 3/8