Differentialmatrix von impliziter Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sei
$$ f:ℝ^{3} -> ℝ,(x,y,z)->z^{3}+2xy-4xz+2y-1.$$
Zeigen Sie: Es existieren eine offene Umgebung U von (1,1)∈R^2 und eine stetige Funktion g:U→R mit g(1,1)=1 und f(x,y,g(x,y))=0 für alle (x,y)∈U.

Begründen Sie, dass g im Punkt (1,1) differenzierbar ist und berechnen Sie Dg(1,1).

Problem:

Der erste Teil lief problemlos, ist ja nur anwenden vom Satz über implizite Funktionen mit vorherigem Zeigen, dass die Vorraussetzungen erfüllt sind.
Dass g in (1,1) differenzierbar ist hab ich auch gezeigt.
Allerdings fällt es mir sehr schwer Dg(1,1) zu berechnen. Dg(1,1) ist hierbei die Differentialmatrix von g.
Über alle Antworten freue ich mich!

Answer 1

Hallo Nakriin,

wenn Du die Voraussetzungen des Satzes über die implizite Funktion überprüft hast, wird durch f(x,y,z)=0 auf einer Umgebung von x₀=(1,1) eine eindeutige Funktion g definiert, deren partielle Ableitung sind:

$$\frac{δg}{δx}(x,y,z)=-\frac{\frac{δf}{δx}(x,y,z)}{\frac{δf}{δz}(x,y,z)}=-\frac{2y-4z}{3z^2-4x}\\\frac{δg}{δy}(x,y,z)=-\frac{\frac{δf}{δy}(x,y,z)}{\frac{δf}{δz}(x,y,z)}=-\frac{2x+2}{3z^2-4x}\\ \text{ mit }z=g(x,y)$$