Ableitungen impliziter Funktionen

Question

Wir haben f:ℝ^2→ℝ zweimal stetig differenzierbar.

f(x,y)=0 sei auf einer Umgebung des Punktes (x₀,y₀) nach y auflösbar. Also ist die lokale Auflösung y=g(x) also f(x,g(x))=0 auf einer Umgebung von x₀

Jetzt sollen wir g‘(x) und g‘‘(x) für x nahe  x₀ berechnen.

Wir man das macht, wenn man eine Funktion f gegeben hat, weiß ich. Dann bestimmt man die partiellen Ableitungen dxf und dyf und g‘(0)= -dxf(0,0)/dyf(0,0)

Ebenso kann man dann die Formel für die g‘‘(0) nehmen.

Aber wie macht man das, wenn man keine Funktion gegeben hat so wie in der Aufgabe?

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(f(x,g(x))=0\) ist auch das Differential \(df=0\):

$$0=df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial g}dg\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial f}{\partial g}dg=-\frac{\partial f}{\partial x}dx\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial f}{\partial g}\frac{dg}{dx}=-\frac{\partial f}{\partial x}$$$$\Rightarrow\quad g'(x)=\frac{dg}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial g}}=-\frac{\partial_x f}{\partial_g f}$$Die zweite Ableitung folgt nun mit Quotieten- und Kettenregel:

$$g''(x)=-\frac{\frac{d}{dx}(\partial_x f(x,g(x)))\cdot\partial_g f-\partial_xf\cdot\frac{d}{dx}(\partial_gf(x,g(x)))}{(\partial_g f)^2}$$$$g''(x)=-\frac{\left(\partial_{xx}f+\partial_{gx}f\cdot g'\right)\cdot\partial_g f-\partial_xf\cdot\left(\partial_{xg}f+\partial_{gg}f\cdot g'\right)}{(\partial_g f)^2}$$Das könntest du jetzt noch weiter umstellen, etwa indem du ausnutzt, dass \(\partial_{gx}f=\partial_{xg}f\) ist. Du könntest auch noch \(g'\) von oben einsetzen. Aber das ist viel Tipperei und bringt vermutlich keine wesentlichen Vereinfachungen mehr, daher lasse ich die zweite Ableitung mal so stehen.

Comments

aber das sind doch eigentlich die nur die Formeln für die Ableitungen oder? die hatte ich auch schon nur ich dachte wir sollen irgendetwas ausrechnen

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Ich denke, die Aufgabe geht darum, die impliziten Ableitungen zu verstehen und nochmal selbst nachzuvollziehen. Ohne Kenntnis eines Funktionsterms für \(f\) können wir hier nicht mehr ausrechnen.