implizite Ableitung gesucht df/dx?

Question

Aufgabe:

Gesucht ist dy/dx wenn   sin(x y)=x+y.

df/dx=

Problem/Ansatz:

muss man hier nur nach x suchen oder auch y

Answer 1

Aloha :)

Wenn die beiden Seiten der Gleichung für alle Werte von \(x\) und \(y\) gleich sind, dann ist auch deren totales Differential gleich:

$$\left.\sin(xy)=x+y\quad\right|\text{totales Differential bestimmen}$$$$\left.d(\sin(xy))=d(x+y)\quad\right|\text{Kettenregel}$$$$\left.\frac{\partial\sin(xy)}{\partial x}\,dx+\frac{\partial\sin(xy)}{\partial y}\,dy=\frac{\partial(x+y)}{\partial x}dx+\frac{\partial(x+y)}{\partial y}dy\quad\right|\text{ausrechnen}$$$$\left.\cos(xy)y\,dx+\cos(xy)x\,dy=dx+dy\quad\right|\text{alle \(dx\) und alle \(dy\) jeweils auf eine Seite}$$$$\left.(\cos(xy)x-1)\,dy=(1-\cos(xy)y)\,dx\quad\right|\text{nach \(\frac{dy}{dx}\) umstellen}$$$$\frac{dy}{dx}=\frac{1-\cos(xy)\cdot y}{\cos(xy)\cdot x-1}$$

Comments

Danke für ihre Hilfe

noch eine Frage habe ich Gesucht ist dy/dx wenn x^4*y=x-y

df/dx= -4/x^5 ist es richtig so

LG

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Nein, da hast du dich irgendwo vertan:$$d(x^4y)=4x^3y\,dx+x^4\,dy\quad;\quad d(x-y)=dx-dy$$Da beide Differentiale gleich sein müssen:$$(x^4+1)\,dy=(1-4x^3y)dx\implies\frac{dy}{dx}=\frac{1-4x^3y}{x^4+1}$$

Answer 2

Hallo

du leitest nach x ab: also cos(x*y)*y*y'=1+y' das kannst du jetzt nach y'=dy/dx auflösen

Gruß lul