Implizite Funktion x^3+x=xy^4+ 1 auflösen in R^2. Ableitung in (x,y) = (1,1) ?

Question

Die Gleichung x^3+x=xy^4+ 1kann mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen in einer Umgebung des Punktes
( x₀, y₀)=(1,1)nach der Variablen x aufgelöst werden. Bestimmen Sie die Ableitung x′(y₀) der so definierten Funktion x = x(y).

ich bin mir nicht so ganz sicher, wie ich das x = x(y) verstehen und verwenden soll?

Schritt für Schritt
f(x,y) = 0 = x^3 + x - xy^4 - 1 = 0
df(x,y) = ( 3x^2 + 1 - y^4 , 4xy^3 )
df(1,1) = ( 3 + 1 - 4 , 4 ) = ( 0, 4 )
Nach x ist die funktion nicht ableitbar, da d_xf(1,1) = 0. Also nehme ich an, man soll nach y ableiten? d_yf(1,1) = 4 ≠ 0. Also ist sie invertierbar.

Wie sieht die Formel "dh(x) = -(d_yf(x, h(x)))^(-1) * d_xf(x, h(x))" für mein Beispiel aus? ich nehme an, einfach die x und y vertauschen?
dh(y) = -(d_xf(h(y), y)^(-1) * d_yf(h(x), y)
dh(1,1) = -4^(-1) * (0,4) = (0,-1)

Stimmt dieses Ergebnis?

Answer 1

allgemein gilt:

y' = -  F_x/F_y

x^3+x=xy^4+ 1

F(x,y) =0 =xy^4+ 1 -x^3 -x

Fx= y^4 -3x^2 -1

Fy= 4 y^3*x

einsetzen in die allg. Formel:

y' = -  Fx/Fy

y' = -  (y^4 -3x^2 -1)/(4 y^3*x)

y' =(-y^4 +3x^2 +1)/(4 y^3*x)

den Punkt eingesetzt:

y'(1,1)=3/4

Comments

Danke fürs Gegenrechnen. Ich habe meinen Fehler nun entdeckt.
df(x,y) = ( 3x^2 + 1 - y4 , -4xy^3 )
df(1,1) = ( 3 + 1 - 1 , 4 ) = ( 3, -4 )