Implizite Funktion ableitung bestimmen

Question

ich komme bei einer wichtigen Aufgabe nicht weiter und hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

Aufgabe:

Wir betrachten die Gleichung $$x^3 + y^2 − 2xy = 0$$

(1) Zeigen Sie, dass man die Gleichung für (x, y) in einer Umgebung von (1, 1) eindeutig nach x auflösen kann.

 (2) Zeigen Sie, dass die so erhaltene Funktion x = g(y) in y = 1 zweimal stetig differenzierbar ist und berechnen Sie g'(1) und g''(1).

(3) Kann man die Gleichung in einer Umgebung von (1, 1) eindeutig nach y auflösen ?

zu 1)

Hier verwende ich den Satz der Impliziten Funktionen. Ich setze zuerst den Punkt (1,1) ein

1+1-2=0

Anschließend bilde ich die partielle Ableitung nach x

$$2x^2 - 2y $$ ist ungleich (0,0) für alle Elemente aus der Umgebung (1,1)

zu 2)

Aus dem Satz geht jetzt die Existenz der Abbildung g(y)=x hevor. Wie bestimme ich diese jetzt damit ich die einzelnen Ableitungen bilden kann?

zu 3) Die Gleichung lässt sich in einer Umgebung von (1,1) nicht nach y umstellen, da der folgende Punkt nicht erfüllt ist

Die partielle Ableitung nach y ist

$$ 2y-2x = 0 $$ für (1,1)

Comments

$$ x^3+y^2−2xy=0 $$
$$x_o=1;y_o=1$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}= 3x^2−2y $$
$$\frac{\partial f}{\partial y}= 2y−2x $$
$$\frac{\partial y}{\partial x}= \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} $$
$$\frac{\partial y}{\partial x}= \frac{ 3x^2−2y }{ 2y−2x} $$
$$\frac{\partial y}{\partial x}(x_o,y_o)= \frac{ 3x_o^2−2y_o }{ 2y_o−2x_o} $$
$$\frac{\partial y}{\partial x}(1,1)= \frac{ 3−2 }{ 2−2} $$
$$\frac{\partial y}{\partial x}(1,1)= \frac{ 1 }{ 0} $$
Da melde ich mal Zweifel an, ob von dieser Stelle (1|1) aus überhaupt was brauchbares zu entwickeln sein soll.

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Auflösung der Impliziten Funktion nach y:
$$ x^3+y^2−2xy=0 $$
$$ x^3+y^2−2xy+x^2 =x^2 $$
$$ x^3+(y−x)^2 =x^2 $$
$$ (y−x)^2 =x^2- x^3$$
$$ y−x =\pm \sqrt{x^2- x^3}$$
$$ y =x\pm \sqrt{x^2- x^3}$$
Da ist die Umgebung nun völlig Wurscht

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Dies könnte man wohl als einen Teil der Aufgabe (3) interpretieren.

Auch interessant: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+%2B+y%5E2+-+2xy+%3D+0

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Auflösung der impliziten Funktion nach x:
$$ x^3−2y \cdot x +y^2=0 $$
$$x = 2 y \cdot \left(\frac{\frac 23 }{    \sqrt 3 \cdot \sqrt{27 y^4-32 y^3}\quad -9 y^2}\right)^{\frac 13}+\left(\frac{    \sqrt 3 \cdot \sqrt{27 y^4-32 y^3}\quad -9 y^2}  {18}\right)^{\frac 13}$$

war doch echt kein Problem - frage mich weshalb das einige Leute nicht für möglich halten ;)