Hi,
für eine allg. lineare Dgl. zweiter Ordnung der Form
$$ y''(x) + p(x) y'(x) +q(x) y(x) = 0 $$ mit \( y(0) = y_0 \) und \( y'(0) = y'_0 \) gilt folgendes bei einem Potenzreihenansatz der Form $$ y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k $$
$$ (1) \quad a_{n+2} = -\frac{1}{(n+1)(n+2)} \sum_{k=0}^n \left[ p_k (n+1-k) a_{n+1-k} + q_k a_{n-k} \right] $$
wobei gilt \( p(x) = \sum_{k=0}^\infty p_k x^k \) und \( q(x) = \sum_{k=0}^\infty q_k x^k \)
Für die Koeffizienten \( a_0 \) und \( a_1 \) gilt, \( a_0 = y_0 \) und \( a_1 =y'_0 \)
Wenn man jetzt das obige auf Dein Beispiel anwendet, folgt
$$ a_0 = 1 \ , a_1 = 0 $$ $$ p_0 = p_1 = 0 \ , q_0 = 0 \ , q_1 = 2 $$
Die anderen Koeffizienten der Potenzreihen von \( p(x) \text{ und } q(x) \) sind Null.
Einsetzen in (1) ergibt für \( n = 1 \) folgendes
$$ a_3 = -\frac{1}{6} q_1 a_0 = -\frac{1}{3} $$ Das ist der Term, den auch Oswald berechnet hatte.
Durch nachrechnen erkennt man, dass gilt \( a_4=0 \) und \( a_5=0 \)
Für \( a_6 \) bekommt man folgendes
$$ a_6 = -\frac{1}{30} \left( q_1 a_3 + p_2 a_3 \right) = \frac{1}{3 \cdot 6} $$
Allgemein gilt
$$ a_{3i} = \left[-\frac{1}{3i} \right] \left[-\frac{1}{3(i-1)} \right] ... \left[-\frac{1}{3} \right] a_0 = (-1)^i \frac{a_0}{3^i \cdot i!} = \frac{(-1)^i}{3^i \cdot i!} $$
Damit sieht die Lösung so aus:
$$ y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_{3k} x^{3k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{3^k \cdot k!} x^{3k} $$
Streng genommen muss noch beweisen das die Koeffizient \( a_{3i-1} \) und \( a_{3i-2} \) alle Null sind.
Als ergänzende Links kann man folgende empfehlen
https://www.youtube.com/watch?time_continue=709&v=YAVtLR0d9aw
https://www.youtube.com/watch?v=ltz4tVFGOFA
NB: Manchmal gibt es hier im Forum Mitglieder die lieber maulen als helfen.
