Logische Äquivalenz mit mehr als 2 Variablen

Question

wie ist eigentlich eine logische Äquivalenz mit mehr als 2 Variablen zu interpretieren?

Beispiel:

$$a \Leftrightarrow b \Leftrightarrow c$$

Ist es äquivalent zu $$(a \land b  \land c) \lor (\lnot a \land \lnot b  \land \lnot c)$$ oder ist es äquivalent zu \((a \Leftrightarrow b) \Leftrightarrow c\) bzw. \(a \Leftrightarrow (b \Leftrightarrow c)\)

WolframAlpha liefert jedenfalls zwei unterschiedliche Ergebnisse für $$a \Leftrightarrow b \Leftrightarrow c$$ und $$(a \Leftrightarrow b) \Leftrightarrow c$$ bzw. $$a \Leftrightarrow (b \Leftrightarrow c)$$

Die letzteren Ergebnisse kann ich nachvollziehen, aber das erste nicht.

Wäre für eine Klarstellung dankbar.

Liebe Grüße

Asg

Comments

Bedeutet dies nicht a⇔b und b ⇔ c und a ⇔ c ?

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Scheint so zu sein, aber nirgendwo konnte ich diese Definition finden.

Hast du eventuell dazu einen Verweis aus einem Buch bzw. online?

Danke dir!

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Ich kenne dass auch als Äquivalenzrelation.

Vielleicht hilft dir diese Seite :

http://www.mathepedia.de/Aequivalenz.aspx

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Danke für den Link. Genau so etwas habe ich gesucht.

Ich hatte gar nicht daran gedacht, dass die Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist.

Nun ist es aber geklärt.

Dankeschön :)

Answer 1

Das Symbol ⇔ kann auf zwei Arten interpretiert werden:

1. Als reflexive, symmetrische, transitive Relation auf der Menge der Aussagen. Dann wird a ⇔ b ⇔ c aufgefasst als a ⇔ b und b ⇔ c, ähnlich wie auch a = b = c aufgefasst wird als a = b und b = c. Das ist das, was WolframAlpha macht.
2. Als Verknüpfung von Aussagen um komplexere Aussagen zu erhalten. Dann reiht sich ⇔ in die Menge andere logischer Verknüpfungen wie ⇒, ∧ und ∨ ein und wird auch so behandelt, das heißt nach Vorrangregeln und ansonsten von links nach rechts.

Comments

Danke oswald und jc2144.

Da es um die Definition geht, denke ich dass man es nicht herleiten kann, dass $$(a \Leftrightarrow b) \land (b \Leftrightarrow c)$$ äquivalent zu $$a \Leftrightarrow b \Leftrightarrow c$$ ist, oder?

Deshalb würde ich mich über einen Verweis auf diese Definition aus einem Buch bzw. online freuen.

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> Verweis auf diese Definition aus einem Buch bzw. online freuen.

Wirst du nicht finden, wei es formal nicht korrekt ist.

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1) "Formal wäre \( a \Leftrightarrow b \Leftrightarrow c\) gleichbedeutetend mit \( (a \Leftrightarrow b) \Leftrightarrow c\)"

Die Ergebnisse sind aber unterschiedlich, wie WolframAlpha zeigt. Wie können sie dann formal äquivalent sein?

2) "... weil es formal nicht korrekt ist."

Das kann ich nicht nachvollziehen. In der Mathematik muss doch alles eindeutig definiert sein, damit man es überhaupt verwenden kann. Wieso ist es hier denn anders?

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Oder meinst du, dass WolframAlpha eine formal falsche Definition für die Berechnung verwendet?

Dann würde mich interessieren die formal korrekte Definition in einem Buch bzw. online zu lesen. Denn alles, was ich bisher dazu gefunden habe, ist mit zwei Variablen.

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Ich habe meine Antwort überarbeitet. Ich hofffe sie ist jetzt etwas klarer.

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Ja genau die Definition der 1. Interpretation such ich seit langem in der Literatur, aber finde es nicht.

Deine Antwort macht es nun aber klar: d.h. da die Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist, gilt  \( (a \Leftrightarrow b \Leftrightarrow c) \equiv (a \Leftrightarrow b \land b \Leftrightarrow c) \) und aus der Transitivität folgt sofort zusätzlich \( a \Leftrightarrow c \)

Fazit: Die gesuchte Definition ist also die Definition für die Äquivalenzrelation.

Dankeschön für die Hilfe

Liebe Grüße

Asg